2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Ряд из произведений
Сообщение20.11.2015, 17:07 
Ряд с членами $x ^2_n $ расходится. Правда ли, что найдется последовательность $y_n$ такая что ряд из $y^2_n $ сходится, а ряд из $|x_ny_n|$ расходится?

 
 
 
 Re: Ряд из произведений
Сообщение20.11.2015, 17:40 
Аватара пользователя
В каждом конкретном случае это делается банально. А в общем...
Ну-с, а если вот так: $y_n={x_n\over\sum_1^nx_k^2}$?

 
 
 
 Re: Ряд из произведений
Сообщение20.11.2015, 19:09 
А ряд из $|x_ny_n|$ расходится? Не исключено, но и не очевидно. Спасибо, само сабой.

-- 20.11.2015, 20:50 --

В каждом конкретном случае это делается банально. А в общем...

Дык полная же индукция!

 
 
 
 Re: Ряд из произведений
Сообщение25.11.2015, 18:38 
Нет, к сожалению, эту идею не вкуриваю. Прошу помощи зала.

Повернув, как Теркин, трехрядку другим концом, обратимся к известной задаче.

Требуется доказать, что если $(x_1 , ...x_n, ...)$ таков что $\forall (y_1 , ...y_n, ...)\in l_2$  (x_1 y_1, ...x_n y_n, ...) $\in l_1$ то $(x_1 , ...x_n, ...) \in l_2 . $

Широко известное решение использует теорему Бера о категориях и, доказанный на ее основе, принцип равномерной ограниченности. В гильбертовых пространствах принцип равномерной ограниченности можно доказать без теоремы Бера (П. Халмош, Гильбертово пространство в задачах. Доказательство Сарсона). А проще, чем Сарсон кто-нибудь умеет?

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group