Задача на нахождение экстремума функции с ограничениями

[inky]

Прошу проверить правильно я составил уравнение для 1 задачи и помочь составить уравнение для второй.

1) Вокруг шара описать конус наименьшего объема.
Мое уравнение:
Понятное дело, что основная функция $\frac{1}{3}\pi {R}^{2} H \rightarrow \min$, где $R$ это радиус основания конуса, $H$ его высота. Теперь разберемся с ограничениями. Радиус вписанного в конус шара вычисляется по формуле $\frac{HR}{\sqrt{{H}^{2} + {R}^{2}} + R}$. Обозначим за $r$ радиус вписанного в конус шара, и получаем ограничение $\frac{HR}{\sqrt{{H}^{2} + {R}^{2}} + R} = r$.

2) В треугольник вписать параллелограмм наибольшей площади.
Тут я даже не знаю с какой стороны зайти...

[мат-ламер]

Попробуйте в первой задаче взять в качестве параметра угол (сами подумайте, какой). Может проще будет. Относительно второй задачи подумайте, как будут взаимно располагаться фигуры.

[inky]

1) В качестве ограничения можно взять $r = R \tg(\frac{\alpha}{2})$, где $\alpha$ это угол наклона образующей конуса к основанию. Правда проще от этого не станет...или станет? Можно выразить высоту через тангенс угла наклона образующей по формуле $H = R \tg (\alpha )$, тогда главная функция и ограничение примут вид

$\frac{1}{3} \pi {R}^{3} \tg (\alpha )\rightarrow \min$
$r = R \tg(\frac{\alpha}{2})$.

Действительно проще, спасибо

2) Есть подозрение, что для достижения максимума, одно из оснований параллелограмма должно лежать на каком нибудь основании треугольника, только как это доказать? У меня ноль идей по этому поводу..

[provincialka]

inky в сообщении #1076344 писал(а):

для достижения максимума, одно из оснований параллелограмма должно лежать на каком нибудь основании треугольника,

Хм... А что вы понимаете под "вписанным" параллелограммом? По-моему это означает, что все вершины параллелограмма лежат на сторонах треугольника. Вот только сторон этих меньше, чем вершин у параллелограмма.

[inky]

provincialka в сообщении #1076378 писал(а):

все вершины параллелограмма лежат на сторонах треугольника

да, действительно

[provincialka]

inky
не надо самобичевания. Лучше скажите: в таком виде вы задачу решите? (Заметьте, что площадь параллелограмма зависит от высоты, но не от наклона боковых сторон)

[inky]

provincialka
Функция, для которой нужно искать минимум будет иметь вид $hx\rightarrow \min$, где $h$ это высота параллелограмма опущенная на сторону $x$.
Надо найти зависимость между длинами сторон треугольника и высотой и длиной основания параллелограмма. Только я никак не могу сообразить как это сделать.

[provincialka]

Лучше всего через пропорции. Например, сдвигаете основание параллелограмма до какой-нибудь вершины, тогда один из углов параллелограмма совпадает с углом треугольника. Весь параллелограмм вполне определяется положением противоположной вершины. Его площадь можно найти, вычитая из площади треугольника площади двух, подобных ему.
(В принципе, задача решается в уме, но при достаточном навыке в аффинной геометрии. Вы можете ввести переменную, определяющую положение последней вершины).

[inky]

provincialka
Уже разобрался, спасибо