Функция распределения

[soulstealer]

Здравствуйте, подскажите, правильно ли я нашел параметр $a$?
Случайная величина $X$ имеет плотность распределения вероятностей:

$$f(x)=\left\{ \begin{array}{rcl} $a\cos^2x, \left\lvert x \right\rvert < \frac{\pi}{2}\\ 0, \left\lvert x \right\rvert \geqslant \frac{\pi}{2}\\ \end{array} \right.$$

Определить параметр a. Найти функцию распределения. Вычислить $M(x)$ и $D(x)$.

$\int\limits_{-\infty}^{\infty} a\cos^2x dx=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}a\cos^2xdx=...=\frac{a\pi}{4}=1$

$a=\frac{4}{\pi}$

Я сомневаюсь в том, правильные ли пределы я интегрирования я взял?

[Ms-dos4]

soulstealer
Ну во первых, $\[\int\limits_{ - \infty }^\infty {a{{\cos }^2}xdx} \]$ никак не равен $\[\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {a{{\cos }^2}xdx} \]$. В вашем случае $\[\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {f(x)dx} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{ + \frac{\pi }{2}} {a{{\cos }^2}xdx} = 2a\int\limits_0^{ + \frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}xdx} \]$

[soulstealer]

Получается что $a=\frac{8}{\pi}$
А функция распределения:
$F(x)=\int\limits_{-\infty}^{x}f(t)dt=\int\limits_{-\infty}^{x}\frac{8}{\pi} \cos^2tdt$ ?

[arseniiv]

soulstealer в сообщении #1075753 писал(а):

Получается что $a=\frac{8}{\pi}$

$\dfrac2{\pi}$.

soulstealer в сообщении #1075753 писал(а):

А функция распределения:
$F(x)=\int\limits_{-\infty}^{x}f(t)dt=\int\limits_{-\infty}^{x}\frac{8}{\pi} \cos^2tdt$ ?

Левый интеграл верный, правый снова не такой. Просто возьмите отдельно случаи $x<-\frac{\pi}2$, $x\in[-\frac{\pi}2;\frac{\pi}2]$, $x>\frac{\pi}2$ и запишите функцию кусочно заданно, и инеграл везде взять стоит.

[soulstealer]

Получается:
$x<-\frac{\pi}{2}: \int\limits_{-\infty}^{x} 0dt$
$x\in[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]: \int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{x} \frac{2}{\pi}\cos^2tdt$
$x>\frac{\pi}{2}: \int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{x} 0dt$ ?

[provincialka]

Последний кусок неверно. Функция распределения -- неубывающая и растет до 1 в $+\infty$.

[soulstealer]

$x>\frac{\pi}{2}: F(x)=1$ ?

А математическое ожидание и дисперсию правильно нашел?
$M(x)=\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2}{\pi}x \cos^2x=0$
$D(x)=M(x^2)-(M(x))^2=\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2}{\pi}x^2 \cos^2x-0=...=\frac{\pi^3}{24}-\frac{\pi}{4}$

[provincialka]

Да (ответ был на первый вариант вопроса, только о функции распределения)

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

Чтобы дальше не писать по слогам, приведите, пожалуйста, попытки решения остальной части задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[soulstealer]

soulstealer в сообщении #1075818 писал(а):

А математическое ожидание и дисперсию правильно нашел?
$M(x)=\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2}{\pi}x \cos^2x=0$
$D(x)=M(x^2)-(M(x))^2=\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2}{\pi}x^2 \cos^2x-0=...=\frac{\pi^3}{24}-\frac{\pi}{4}$

[arseniiv]

Формулы правильные, значение матожидание верное, а вот значение дисперсии не совпадает с посчитанным Wolfram Mathematica. Откуда лишний множитель $\dfrac{\pi}2$?

-- Пн ноя 23, 2015 19:04:18 --

Стоило бы, конечно, обозначить случайную величину другой буквой — $\xi$ или там $X$…

[Aritaborian]

arseniiv в сообщении #1075991 писал(а):

Откуда лишний множитель $\dfrac{\pi}2$?

Полагаю, это забытый множитель $\dfrac{2}\pi$ ;-)