2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Глобальность решений системы Лоренца
Сообщение13.11.2015, 02:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Рассмотрим систему Лоренца
$$\left\{
\begin{aligned}
\dot{x} & = & -\sigma x + \sigma y,\\
\dot{y}       & = & rx - y - xz, \\
\dot{z}    & = &   -bz+xy.
\end{aligned}
\right.$$
Нужно показать, что все решения этой системы являются глобальными, т.е. заданы на $\mathbb{R}.$ Функция в правой части является локально липшицевой, поэтому локально решение существует и единственно. Будем рассматривать максимальные решения. Если показать, что решение $u=u(t,u_0)=(x(t),y(t),z(t))$ (где $x\not=0,y\not=0$) не выходит за пределы некоторого компактного множества, то, по известной теореме, оно будет определено для всех $t \in \mathbb{R}.$ Было указание использовать для этого функцию Ляпунова.

Насколько мне известно, функция Ляпунова применяется в вопросах об устойчивости нулевого решения. В данном случае это даст информацию, о притяжении ближайших к нулю орбит. А что будет с не ближайшими - не ясно. Или имелось в виду какое-то другое приложение функции Ляпунова?

 Профиль  
                  
 
 Re: Глобальность решений системы Лоренца
Сообщение13.11.2015, 03:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Если Вы найдёте функцию $V$ которая не возрастает вдоль траекторий то они будут захвачены в области $V(x,y,z)\le V(x_0,y_0,z_0)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Глобальность решений системы Лоренца
Сообщение14.11.2015, 01:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Для $0<r<1$ функция Ляпунова выглядит как $V(x,y,z)=\frac{1}{2}(\frac{rx^2}{\sigma}+y^2+z^2)$. Производная в силу системы $\dot{V}(u)=-rx^2+2rxy-y^2-bz^2 < 0$ при $x\not=y\not=z\not=0.$ Отсюда следует, что для некоторого максимального решения $u(t)=(x(t),y(t),z(t))$ и $\forall t \geq 0$ выполнено $V(x(t),y(t),z(t)) \leq V(x_0,y_0,z_0).$ Следовательно, правый конец интервала, на котором определено максимальное решение - бесконечный. А как подступиться к левому концу?

Для $r \geq 1$ функцию Ляпунова пока не искал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Глобальность решений системы Лоренца
Сообщение14.11.2015, 01:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Попробуйте контролируемое расширение. Ф-я Ляпунова при док-ве существования может зависеть от $t$, возьмите её $W(x,y,z)e^{\pm kt}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Глобальность решений системы Лоренца
Сообщение21.11.2015, 16:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
При $r>1$ ситуация прямо противоположная: имеется функция $V(x,y,z)$, такая что $\dot{V}(x,y,z)>0.$ Так что в этой ситуации возникает вопрос неограниченности правого конца интервала решения.

Я так понимаю, Вы предлагаете рассмотреть функции $V(x,y,z)e^{kt}$ для случая $0<r<1$ и $V(x,y,z)e^{-kt}$ для $r>1.$ Тогда задача сводится к тому, чтобы показать, что для любой траектории и при некотором $k>0$, зависящем от этой траектории, $V(x(t),y(t),z(t))e^{kt} \to 0$ при $t \to -\infty$ в первом случае и $V(x(t),y(t),z(t))e^{-kt} \to 0$ при $t \to +\infty$ во втором?

А нет, я бред написал. Надо, наверное, так: в предположении конечности соответствующего конца интервала для некоторого решения, показать что величина $V(x,y,z)e^{-kt}$ ограничена в полуокрестности этого конца при некотором $k>0$, тогда получим ограниченность всего решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Глобальность решений системы Лоренца
Сообщение22.11.2015, 18:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
В общем, ответ на свой вопрос нашел здесь.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group