Регулярность интеграла

[2serg2]

Здравствуйте, необходимо показать, что
$F(z) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2/z}dt, Rez>0$ является регулярной ветвью функции $\{\pi z\}$.

Я не могу показать регулярность $F(z)$, отсюда сразу бы все следовало.

[Otta]

Может, Вы где-то потеряли корень? Или наоборот, квадрат?

[2serg2]

Otta в сообщении #1075256 писал(а):

Может, Вы где-то потеряли корень? Или наоборот, квадрат?

Да, действительно, там корень должен быть $ \{\sqrt{\pi z}\} $

[Otta]

Так в чем загвоздка, используйте любую подходящую теорему о регулярности интеграла, зависящего от параметра. Пока даже не видно, в какую сторону Вы пытались идти. И пытались ли.

[2serg2]

Otta в сообщении #1075277 писал(а):

Так в чем загвоздка, используйте любую подходящую теорему о регулярности интеграла, зависящего от параметра. Пока даже не видно, в какую сторону Вы пытались идти. И пытались ли.

Ну в теореме есть условие о равномерной сходимости интеграла в любой области, такой что $Rez>0$. Как установить равномерную сходимость не совсем понятно.

Вообще говоря, задача должна решаться без применения такой теоремы, так как она находится в параграфе ветви регулярных функций.

[Otta]

2serg2 в сообщении #1075282 писал(а):

Ну в теореме условие о равносерной сходимости интеграла в любой области, такой что $Rez>0$

Нет, условие не такое. В такой области равномерной сходимости нет.

[2serg2]

Otta в сообщении #1075284 писал(а):

2serg2 в сообщении #1075282 писал(а):

Ну в теореме условие о равносерной сходимости интеграла в любой области, такой что $Rez>0$

Нет, условие не такое. В такой области равномерной сходимости нет.

А какой тогда теоремой предлагаете воспользоваться? И можно ли как-то без нее решить?

[Otta]

Этой. В ней нет того условия, которое Вы предлагаете. Оно выглядит иначе.

Нет, конечно, Вы можете плясать от печки и использовать теорему Морера - воспроизводя при этом фактически дословно доказательство теоремы о регулярности интеграла, но в частном случае. Как угодно.

Нет никаких предпосылок ставить многозначные аналитические функции раньше такого рода теорем. Нет и не надо.

[2serg2]

Otta в сообщении #1075288 писал(а):

Этой. В ней нет того условия, которое Вы предлагаете. Оно выглядит иначе.

Нет, конечно, Вы можете плясать от печки и использовать теорему Морера - воспроизводя при этом фактически дословно доказательство теоремы о регулярности интеграла, но в частном случае. Как угодно.

Нет никаких предпосылок ставить многозначные аналитические функции раньше такого рода теорем. Нет и не надо.

Можете уточнить теорему.

В той, которую я знаю, говорится о конечной кривой, потом делается обобщение для неограниченного случая. Тогда требуется равномерная сходимость в каждой замкнутой подобласти. Сидоров, Ю.В., Федорюк, М.В., Шабунин, М.И.

[Otta]

2serg2
А у Вас какой случай - ограниченный или неограниченный?

[2serg2]

Otta в сообщении #1075294 писал(а):

2serg2
А у Вас какой случай - ограниченный или неограниченный?

Неограниченный, конечно. От минус бесконечности до бесконечности кривая.

[Otta]

Ну дык. Так Вы сами все сказали:

2serg2 в сообщении #1075292 писал(а):

Тогда требуется равномерная сходимость в каждой замкнутой подобласти.

[2serg2]

Otta в сообщении #1075298 писал(а):

Ну дык. Так Вы сами все сказали:

2serg2 в сообщении #1075292 писал(а):

Тогда требуется равномерная сходимость в каждой замкнутой подобласти.

Ну так в этом проблема. С этого и начиналось все.

[Otta]

Кто - все? Я их не знаю. )) Вы свои проблемы как-то очень издалека начали излагать. Давайте конкретнее, хотя бы теперь. Что Вы пробовали - и что не получилось.

[2serg2]

А если вот так представить интеграл:
$\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2/z}dt = \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2x/(x^2+y^2)} \cos(\frac{yt^2}{x^2+y^2}) + i\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2x/(x^2+y^2)} \sin(\frac{yt^2}{x^2+y^2})$

Доказать, что оба интеграла сходятся равномерно, проверить условия Коши-Римана. тогда функция регулярна.