Ряд из произведений

[Alexey Rodionov]

Ряд с членами $x ^2_n $ расходится. Правда ли, что найдется последовательность $y_n$ такая что ряд из $y^2_n $ сходится, а ряд из $|x_ny_n|$ расходится?

[ИСН]

В каждом конкретном случае это делается банально. А в общем...
Ну-с, а если вот так: $y_n={x_n\over\sum_1^nx_k^2}$?

[Alexey Rodionov]

А ряд из $|x_ny_n|$ расходится? Не исключено, но и не очевидно. Спасибо, само сабой.

-- 20.11.2015, 20:50 --

В каждом конкретном случае это делается банально. А в общем...

Дык полная же индукция!

[Alexey Rodionov]

Нет, к сожалению, эту идею не вкуриваю. Прошу помощи зала.

Повернув, как Теркин, трехрядку другим концом, обратимся к известной задаче.

Требуется доказать, что если $(x_1 , ...x_n, ...)$ таков что $\forall (y_1 , ...y_n, ...)\in l_2$ (x_1 y_1, ...x_n y_n, ...) $\in l_1$ то $(x_1 , ...x_n, ...) \in l_2 . $

Широко известное решение использует теорему Бера о категориях и, доказанный на ее основе, принцип равномерной ограниченности. В гильбертовых пространствах принцип равномерной ограниченности можно доказать без теоремы Бера (П. Халмош, Гильбертово пространство в задачах. Доказательство Сарсона). А проще, чем Сарсон кто-нибудь умеет?