Доказательство возможности подбора чисел

[Ktina]

Доказать, что для любого натурального $n>1$ можно подобрать вещественные числа

$$a_1, a_2,\dots a_n$$

так, чтобы выполнялось

$$a_1>a_2,\quad a_2^2>a_3^2,\quad a_3^3>a_4^3,\quad\dots\quad a_n^n>a_1^n$$

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

1) Если $n$ чётное, берём $n-1$ положительно-убывающих чисел больше единицы и $a_n = -(a_1+1)$. Ну или просто в 100500 раз больше.
2) Если $n$ - нечётное, то $a_{n-1}=-100500a_1,$ $a_n = 100499 a_1$

[Ktina]

Dan B-Yallay
Не обязательно рассматривать каждый из этих случаев в отдельности. Есть более красивое решение, охватывающее сразу оба случая. Подожду покамест, может, кто догадается.

[TOTAL]

Ktina в сообщении #1074785 писал(а):

Не обязательно рассматривать каждый из этих случаев в отдельности. Есть более красивое решение, охватывающее сразу оба случая. Подожду покамест, может, кто догадается.

Тоже пока приведу не красивое, а вот такое страшненькое: $a_n = (-1)^{n+1}(n+1) -1$

[iancaple]

Тестируем идеалы красоты юзера Ktina, не претендуя на точное попадание.
Выбирать эти числа последовательно как угодно, но положительные и чтобы выполнялось очередное неравенство. При этом последнее неравенство, конечно , не будет выполняться. Тогда у $a_2$ изменим знак и заменим $a_1$ на 0

[Ktina]

TOTAL
У Вас ещё и все числа целые, круто.

[Dan B-Yallay]

Ktina в сообщении #1074857 писал(а):

У Вас ещё и все числа целые, круто

А разве у iancaple и у меня не могут быть целыми?

[Ktina]

Dan B-Yallay
iancaple
Пардон, это всё моя невнимательность виновата.

У меня как раз почти все числа нецелыми получились. Первое равно -1, второе равно -2, а остальные - единички с гаком (эпсилоном) в порядке убывания.

[TOTAL]

По идее iancaple: $a_n=\sin(6\pi/4^{n-1})$