Гладкость отображения при замене в неопределённом интеграле

[movzx]

Помогите понять, зачем здесь (картинка кликабельна) требуется гладкость $\varphi$. (Зорич. Математический анализ). Я понимаю, зачем гладкость $\varphi$ в определённом интеграле, но здесь она зачем, если в определении первообразной непрерывность подынтегральной функции не требуется? Почему не потребовать просто дифференцируемости $\varphi$? С таким условием формула также останется верной при проверке прямым дифференцированием. Или я что-то забываю?

[Brukvalub]

Вы правы, Зорич излишне строг к замене.

[movzx]

Brukvalub, а было ли какое-то основание для такой строгости? В любом случае мне непонятно, почему не было сделано хоть какого-то пояснения по поводу гладкости (да и само определение гладкости не вводилось). Но это уже вопросы скорее к самому Зоричу, ибо у него были и другие определения, которые обычно даются в более слабой форме. Главное, я не ошибаюсь, говоря, что для выполнения формулы достаточно дифференцируемости.

[Brukvalub]

Думаю, Зорич, чтобы два раза не вставать, сразу подготовил эту теорему для использования с определенным интегралом, там гладкость гарантирует интегрируемость по Риману.

[movzx]

Brukvalub, про определённый интеграл я понимаю, конечно. Может быть, вы правы, спасибо.

[gefest_md]

Может ли быть, что Зорич имел в виду под $\varphi'(t)$ функцию, определённую на подмножестве промежутка $\Delta_t$? Например, найти $\int f(\varphi(t))g(t)dt$, если:
$f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=x$
$\varphi\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ \varphi(x)=x^2-1$
$g\colon\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R},\ g(x)=2x$, т.е. не $\varphi'$.