Туймаада-2015, К.Кохась

[Navid]

Даны целые числа $ 0\leq b \leq c \leq d \leq a$ . причем $ a>14$ Докажите, что не всякое натуральное число $ n$ можно записать в виде $ n= x(ax+b) + y(ay+c) + z(az+d) $ , где $ x,y,z $ — некоторые целые числа

[rightways]

Идея:

$$4na+b^2+c^2+d^2=(2ax+b)^2+(2ay+c)^2+(2az+d)^2$$

Пусть $b^2+c^2+d^2=m$
Если мы докажем, что сравнение $4ax+m \equiv 7 (mod 8) $ разрешимо (x=n), или же уравнение $4ax+m=4^y(8z+7) $ разрешимо в неотриц. целых числах , то задача будет решена.

[12d3]

Будем использовать более слабое условие $a>8$. Заметим, что каждое слагаемое в правой части неотрицательно.
$f(x)=x(ax+b)$ - квадратичная функция с минимумом в т. $x_0=-\frac{b}{a} \in [-1;0]$
$f(0)=0,\,\,f(-1)=a-b$, во всех остальных точках $f(x) >=a$.
Рассмотрим, можно ли представить указанным в условие образом натуральное числа $n \le 8$. Если $x \neq 0 \wedge x \neq -1$, то правая часть больше 8. Значит, чтобы представить $n \le 8$, необходимо, чтобы $x=0 \vee x=-1$. Совершенно аналогично, необходимо, чтобы $(y=0 \vee y=-1) \wedge (z=0 \vee z=-1)$. Каждая переменная принимает всего 2 значения, значит всевозможные их комбинации дают не более 8 различных значений правой части, причем одно из значений - ноль. Значит, невозможно представить все числа $n \le 8$, отсюда верно утверждение задачи.

[Navid]

спасибо -12d3- ваши доказательства очень приятно!