Размышления о степени отображения и клеточных гомологиях

[Mikhail_K]

Степень ${\rm{deg}}f$ непрерывного отображения $f:S^n\to S^n$ определяется следующим образом. Пусть $I:S^n\to S^n$ - тождественное отображение, так же обозначим его гомотопический класс. В силу $\pi_n(S^n)=\mathbb{Z}$, отображение $f$ можно представить в виде $f=k I$, $k\in\mathbb{Z}$. Тогда ${\rm{deg}}f=k$. Например, тождественное отображение имеет степень $1$, а зеркальное отражение - степень $-1$.

Трудности возникают, когда нам нужно найти степень отображения двух различных сфер, $f:S_1^n\to S_2^n$. Тогда в каждой из этих сфер надо фиксировать образующую гомотопической группы, иначе говоря, некоторый гомеоморфизм из эталонной сферы в данную. То есть, надо задать гомеоморфизмы $I_1:S^n\to S_1^n$, $I_2:S^n\to S_2^n$. Разумеется, в качестве $S^n$ можно взять любую из этих сфер, например $S_1^n$; тогда $I_1$ должно быть тождественным отображением. Смысл этих гомеоморфизмов - "не меняющие ориентацию"; но что это значит - можно определить только в некоторых случаях. Например, если обе сферы лежат в некотором объемлющем пространстве $\mathbb{R}^{n+1}$ и совмещаются гомотетией или параллельным переносом; тогда именно это преобразование и нужно выбрать в качестве $I_2$. Или если на сферах $S_1^n$ и $S_2^n$ фиксированы реперы касательных векторов. Или, например, при определении вращения векторных полей между сферой, по которой вычисляется вращение, и сферой, являющей множеством нормированных векторов на первой сфере, имеется очевидное соответствие. Но в общем случае, когда $S_1^n$ и $S_2^n$ даны просто как множества, имеющие разную природу и лежащие в разных пространствах, канонического способа выбора $I_1$ и $I_2$ не существует. Выбрать их можно ровно двумя существенно отличными способами, переходящими друг в друга при зеркальном отражении.

После того как $I_1$ и $I_2$ выбраны, степень отображения определяется так. Каждый сфероид $\varphi:S^n\to S_1^n$, равный $\varphi=lI_1$ превращается при отображении $f:S_1^n\to S_2^n$ в сфероид $f\varphi:S^n\to S_2^n$, $f\varphi=mI_2$, причём $m=kl$, где $k$ не зависит от выбора сфероида $\varphi$. Это значение $k$ и называется степенью отображения $f$. Нетрудно видеть, что без выбора гомеоморфизмов $I_1$ и $I_2$ степень отображения определена только с точностью до знака.

----------

В одном из учебников клеточные гомологии определяются следующим образом. Пусть у нас есть клеточный комплекс $X=\cup X^i$, где $X^i$ получается путём приклеивания к $X^{i-1}$ некоторого количества $i$-дисков по непрерывным отображениям их краёв. Нам нужно ввести граничный оператор. Результат его применения к некоторой $n$-клетке $D_\alpha^n$ есть линейная комбинация $(n-1)$-клеток, к которым эта клетка приклеена, с особыми коэффицентами, называемыми коэффициентами инцидентности. Коэффициент инцидентности $n$-клетки $D_\alpha^n$ и $(n-1)$-клетки $D^{n-1}_\beta$, если последняя является участком границы первой, определяется так. Пусть $\psi:\partial D_\alpha^n\to X^{n-1}$ - приклеивающее отображение. Оно индуцирует отображение $\bar\psi=p\psi:\partial D_\alpha^n\to S^{n-1}$, где отображение $p:X^{n-1}\to S^{n-1}$ получено из $(n-1)$-остова комплекса $X$ путём сжатия в точку всего его $(n-2)$-остова и всех $(n-1)$-клеток, кроме $D_\beta^{n-1}$. Тогда коэффициент инцидентности $[D_\alpha^n : D_\beta^{n-1}]$ определяется как степень отображения $\bar\psi$.
Дальше всё понятно, но вот этот момент настораживает. Как выбрана ориентация при вычислении степени отображения? Корректно ли такое определение?

----------

Мне думается, что коэффициент инцидентности можно определить следующим образом более внятно. Введём эталонный комплекс: соединим две точки двумя отрезками, получим окружность. Приклеим к ней два круга, получим сферу. Приклеим к ней два шара, получим трёхмерную сферу. К ней приклеим два $4$-диска, и так далее. Так как меня интересуют в первую очередь конечномерные комплексы, этот процесс можно остановить на достаточно большой размерности, но, наверное, можно продолжать и до бесконечности. Итак, эталонный комплекс содержит по два диска каждой размерности. Для каждой размерности, выберем из этих двух дисков один, и зафиксируем выбор. Обозначим выбранные диски через $D^0$, $D^1$, $D^2$ и так далее. Смысл в том, что коэффициент инцидентности двух выбранных дисков соседней размерности в эталонном комплексе будет равен $1$, по определению.

Нетрудно, кстати, видеть, что эталонный комплекс естественным образом вкладывается в обычное евклидово пространство. Там это будет многомерная сфера, разделённая экватором на две полусферы, причём экватор, в свою очередь, разделён экватором на единицу меньшей размерности, и так далее. Но внутри евклидова пространства мы можем взять на полусфере репер касательных векторов положительной ориентации и затем индуцировать ориентацию всех следующих полусфер. Тогда, вместе с самими дисками и их конкретным выбором, мы будем понимать эталонный комплекс также и вкупе с его вложением в евклидово пространство и соответствующими касательными реперами.

Дальше, каждый клеточный комплекс $X$ мы будем рассматривать не сам по себе, а вкупе с гомеоморфизмами $\varphi_{\alpha n}:D^n\to D_\alpha^n$ каждой его клетки и выбранного диска той же размерности из эталонного комплекса. Приступим к определению коэффициента инцидентности $[D_\alpha^n: D_\beta^{n-1}]$ двух клеток комплекса $X$. У нас есть приклеивающее отображение $\psi:\partial D_\alpha^n\to X^{n-1}$. Оно индуцирует непрерывное отображение $\psi^*=\psi\varphi_{\alpha n}:\partial D^n\to X^{n-1}$ выбранного диска эталонного комплекса. Теперь введём отображение $p:X^{n-1}\to S^{n-1}$ как выше и определим коэффициент инцидентности как степень отображения $p\psi^*:\partial D^n\to S^{n-1}$, предполагая при этом, что степень $1$ имеет гомеоморфизм, являющийся продолжением $p\varphi_{\beta,n-1}:D^{n-1}\to D_\beta^{n-1} \to S^{n-1}$.

-----------

Можно ли так определять граничный оператор для клеточных комплексов? Приведёт ли оно к классическим гомологиям? К сожалению, те определения, которые я находил в литературе, были либо невнятные, как приведённое выше, либо непонятные для меня. Или есть какое-то более простое изложение? Может быть,

----------

P.S.Возможно, тему стоит поместить в "Дискуссионные темы", не знаю.

P.P.S. Правда ли, что в топологии (в выражениях типа "симплициальный комплекс", "клеточный комплекс", "цепной комплекс") ударение надо ставить на букву "Е", а не на букву "О"?

[Mikhail_K]

То есть, мой вопрос такой: можно ли корректно определить клеточные гомологии и, в частности, граничный оператор на клеточных комплексах, не вводя "эталонный комплекс"? Без него стандартное определение кажется мне неполным и неясным.

[Mikhail_K]

Возможно, на данный вопрос можно ответить, посмотрев, как вычисляются клеточные гомологии.
Ведь есть, наверное, какие-то алгоритмы их вычисления?
Как там берётся степень отображения?

[Mikhail_K]

Прошу модераторов перенести тему в раздел "Дискуссионные темы".
Быть может, там её, наконец, кто-нибудь заметит.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Математика (общие вопросы)»
Причина переноса: не указана.

[Solly]

Если $X$ представим в виде гомологически полноценной фильтрацией, то сингулярный комплекс $X$ гомотопически эквивалентен клеточному комплексу $X$.
Это о вопросе вычисления.

[Mikhail_K]

Solly, к сожалению, я не знаю, что такое гомологически полноценная фильтрация, и не понимаю, причём здесь вообще сингулярный комплекс. Не могли бы Вы как-то прокомментировать стартовое сообщение, оставаясь в рамках его терминологии?