ряд Фурье

[Enne]

Здравствуйте! понимаю, что задачка, наверное, глупая, но что-то у меня совсем не выходит разложить функцию в ряд Фурье. Итак.
$f(x)=\max\quad\left\{ 0,\sin x} \right\}$
$ \left\{ \begin{array}{l} f(x) = 0, $x\in [-\pi;0]$,\\ f(x) = \sin x, $x\in (0;\pi)$, \end{array} \right. $
$a_0={\frac1_\pi}\int_{0}^{\pi} \sin xdx=-\cos x|_0^\pi=\frac{2}_\pi$
$a_n={\frac1_\pi}\int_{0}^{\pi} \sin x \cos nxdx={\frac1_\pi}\int_{0}^{\pi} \left[ {\frac {\sin (n+1)x-\sin (n-1)x}_{2} \right]dx=$
$ \left\{ \begin{array}{l} 0, $n=2k+1, $k \in \mathbb{N}$,\\ \frac{-2}_\{\pi(n^2-1)}, $n=2k, $k \in \mathbb{N}$, \end{array} \right. $
$b_n={\frac1_\pi}\int_{0}^{\pi} \sin x \sin nxdx={\frac1_\pi}\int_{0}^{\pi} \left[ {\frac {\cos (n-1)x-\cos (n+1)x}_{2} \right]dx=0$ $ n=2....$
$b_1={\frac1_\pi}\int_{0}^{\pi} \sin^2 xdx=\frac1_2$
Потом, когда я перехожу к нахождению коэффициентов $b_n$ они у меня выходят нулевыми, так быть не должно, ибо функция не четная и не нечетная. Наверное, я уже ошиблась где-то. Не могли бы ли вы подсказать, где. Спасибо.
Итак, разложение:
$f(x)={\frac1_\pi} +{\frac1_2}\cos x+\sum\limits_{n=2}^{inf} -{\frac2_{\pi(n^2-1)}}\cos nx$

[maxal]

Enne, исправьте в формулах:
вместо max - \max
вместо sin или Sin - \sin
вместо \subset - \in
и т.д.
и уберите вложенные знаки $ - они должны стоять только в начале и в конце каждой формулы

[Brukvalub]

Enne писал(а):

Потом, когда я перехожу к нахождению коэффициентов $b_n$ они у меня выходят нулевыми

С какой это стати? Прежде всего, Вы Вы неверно подсчитали

\[a_0 \]

, на самом деле он не равен 0 (как мог оказаться =0 интеграл от положительной на интервале функции )? Далее,

\[ b_1 = \frac{1}{\pi }\int\limits_0^\pi {\sin ^2 xdx > 0} \]

.

[Enne]

исправила, невниматльно смотрела.
насчет $b_n$ пробую так: $b_n=b_n={\frac1_\pi}\int_{0}^{\pi} \sin x \sin nxdx={\frac1_\pi}\int_{0}^{\pi} \left[ {\frac {\cos (n-1)x-\cos (n+1)x}_{2} \right]dx={\frac1_\pi}\left[\left.\frac {\sin (n-1)x}_{n-1} \right|_0^\pi-\left.\frac {\sin (n+1)x}_{n+1}\right|_0^\pi\right]$

[bobo]

Цитата:

неправильно посчитала интеграл?

При n = 1 неправильно

[Enne]

bobo, точно тогда получается, что $b_n$ будет присутствовать только в качестве $b_1$?

[bobo]

Да

[Someone]

Enne писал(а):

$a_0={\frac1_\pi}\int_{0}^{\pi} sinxdx=-cosx|_0^\pi=-\frac{2}_\pi$

Почему результат отрицательный??? Подынтегральная функция положительная.

Enne писал(а):

$a_n={\frac1_\pi}\int_{0}^{\pi} sinxcosnxdx={\frac1_\pi}\int_{0}^{\pi} \left[ {\frac {sin(n+1)x-sin(n-1)x}_{2} \right]dx=$
$ \left\{ \begin{array}{l} 0, $n=2k+1, $k \in \mathbb{N}$,\\ \frac{-2}_\{\pi(n^2-1)}, $n=2k, $k \in \mathbb{N}$, \end{array} \right. $

Для $a_1$ Ваше вычисление не проходит.

[Enne]

Someone писал(а):

Почему результат отрицательный??? Подынтегральная функция положительная.

:oops:

Someone писал(а):

Для $a_1$ Ваше вычисление не проходит.

Переделала. Но $a_1$ выходит равным нулю. Верно?
$a_1={\frac1_\pi}\int_{0}^{\pi} \sin x \cos xdx=\frac{1}{\pi}\frac{1}{2}\sin2x\big|_0^\pi=0$
Проверьте, пожаулйста, разложение.

Формула исправлена // нг

[нг]

Enne
Исправьте, пожалуйста, свои сообщения в соответствии с требованиями модератора.

Для возвращения темы из Карантина сообщите модератору (ЛС).

[нг]

возвращено

[Алексей К.]

maxal писал(а):

Enne, исправьте в формулах:
вместо max - \max
вместо sin или Sin - \sin

Добавлю-уточню: $\sin x$ (и другие функции) пишутся не как "\sinx" а "\sin x" --- хотя бы пробельчик должен отделять код функции (иногда без него можно обойтись, как в $\sin2x$, $\sin^2 x$).