Потенциальность поля.

[karandash_oleg]

Подскажите, пожалуйста, по поводу задачи.

Проверить потенциальность поля $P=\sqrt{y}z,Q=\dfrac{xz}{2\sqrt{y}},R=x\sqrt{y}$.

Я знаю необходимое условие. Это равенство нулю ротора. Но какое будет достаточным? Или же необходимого хватит сполна?

$$\operatorname{rot}\;(F_x \mathbf e_x + F_y\, \mathbf e_y + F_z \mathbf e_z) = \left( \partial_y F_z - \partial_z F_y \right) \mathbf e_x+ \left( \partial_z F_x - \partial_x F_z \right) \mathbf e_y+ \left( \partial_x F_y - \partial_y F_x \right) \mathbf e_z =$$

$$=\left( 0 - \dfrac{x}{2\sqrt{y}}\right) \mathbf e_x+ \left( \sqrt{y} -\sqrt{y}\right) \mathbf e_y+ \left( \dfrac{z}{2\sqrt{y}} -\frac{z}{2\sqrt{y}}\right) \mathbf e_z$$

А как дальше?

[Otta]

А определение-то какое? потенциальности?

[Pphantom]

Otta в сообщении #1073199 писал(а):

А определение-то какое? потенциальности?

Раз раздел математический - существование представления в виде градиента некоторого скалярного поля.

P.S. В данном конкретном случае оное представление, мягко говоря, очевидно.

[karandash_oleg]

Наверное, $F(x,y,z)=x\sqrt{y}z$? Ну это тупо подбор. А как честно делать?)

[Otta]

А подбор откуда взялся, из каких условий? И не обозначайте одной буквой векторное поле и потенциал, заведите другую.

[karandash_oleg]

Otta в сообщении #1073204 писал(а):

А подбор откуда взялся, из каких условий? И не обозначайте одной буквой векторное поле и потенциал, заведите другую.

Спасибо.
$\zeta(x,y,z)=x\sqrt{y}z$

Подбор из тех соображений, чтобы частные производные давали то, что нужно. По сути -- интегрирование получается. Верно? Просто нужно взять тройной интеграл?

[Otta]

Нет, зачем тройной.

karandash_oleg в сообщении #1073205 писал(а):

Подбор из тех соображений, чтобы частные производные давали то, что нужно.

Запишите эти соображения, будет видно, думаю. Три частных производных. Три уравнения. Берем, решаем. Это как вариант.

[karandash_oleg]

Спасибо! Можно ли так?

$\Phi'_x=\sqrt{y}z,\Phi'_y=\dfrac{xz}{2\sqrt{y}},\Phi'_z=x\sqrt{y}$.

$\Phi=\displaystyle\int \sqrt{y}zdx=x\sqrt{y}z+\varphi(y,z)$

$\left(x\sqrt{y}z+\varphi(y,z)\right)'_y=\dfrac{xz}{2\sqrt{y}}$, значит $\varphi(y,z)=\varphi(z)$

$\left(x\sqrt{y}z+\varphi(y,z)\right)'_z=x\sqrt{y}$, значит $\varphi(y,z)=\operatorname{const}$

Тогда потенциал $\Phi=x\sqrt{y}z+\operatorname{const}$

Верно ли это? Считается, ли что потенциальность проверена?

[Brukvalub]

Да.

[karandash_oleg]

Brukvalub в сообщении #1073500 писал(а):

Да.

Спасибо!

[мат-ламер]

karandash_oleg
А это ничего, что у вас в первом посту ротор ненулевой?

[karandash_oleg]

А как так получилось найти потенциал Оо Я пока что не понимаю -- почему так вышло

[Otta]

Потому что ротор нашли коряво.

[мат-ламер]

karandash_oleg в сообщении #1073197 писал(а):

$$=\left( 0 - \dfrac{x}{2\sqrt{y}}\right) \mathbf e_x+ \left( \sqrt{y} -\sqrt{y}\right) \mathbf e_y+ \left( \dfrac{z}{2\sqrt{y}} -\frac{z}{2\sqrt{y}}\right) \mathbf e_z$$

Проверьте правильность самого первого нуля.

[karandash_oleg]

Разобрался, спасибо! Там должно быть $\dfrac{x}{2\sqrt{y}}$, a не ноль.