2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Потенциальность поля.
Сообщение14.11.2015, 01:15 
Подскажите, пожалуйста, по поводу задачи.

Проверить потенциальность поля $P=\sqrt{y}z,Q=\dfrac{xz}{2\sqrt{y}},R=x\sqrt{y}$.

Я знаю необходимое условие. Это равенство нулю ротора. Но какое будет достаточным? Или же необходимого хватит сполна?

$$\operatorname{rot}\;(F_x \mathbf e_x + F_y\, \mathbf e_y + F_z \mathbf e_z) =
\left( \partial_y F_z - \partial_z F_y \right) \mathbf e_x+
\left( \partial_z F_x - \partial_x F_z \right) \mathbf e_y+
\left( \partial_x F_y - \partial_y F_x \right) \mathbf e_z =$$

$$=\left( 0 - \dfrac{x}{2\sqrt{y}}\right) \mathbf e_x+
\left( \sqrt{y} -\sqrt{y}\right) \mathbf e_y+
\left( \dfrac{z}{2\sqrt{y}} -\frac{z}{2\sqrt{y}}\right) \mathbf e_z$$

А как дальше?

 
 
 
 Re: Потенциальность поля.
Сообщение14.11.2015, 01:21 
А определение-то какое? потенциальности?

 
 
 
 Re: Потенциальность поля.
Сообщение14.11.2015, 01:24 
Otta в сообщении #1073199 писал(а):
А определение-то какое? потенциальности?
Раз раздел математический - существование представления в виде градиента некоторого скалярного поля.

P.S. В данном конкретном случае оное представление, мягко говоря, очевидно. :D

 
 
 
 Re: Потенциальность поля.
Сообщение14.11.2015, 01:37 
Наверное, $F(x,y,z)=x\sqrt{y}z$? Ну это тупо подбор. А как честно делать?)

 
 
 
 Re: Потенциальность поля.
Сообщение14.11.2015, 01:41 
А подбор откуда взялся, из каких условий? И не обозначайте одной буквой векторное поле и потенциал, заведите другую.

 
 
 
 Re: Потенциальность поля.
Сообщение14.11.2015, 02:04 
Otta в сообщении #1073204 писал(а):
А подбор откуда взялся, из каких условий? И не обозначайте одной буквой векторное поле и потенциал, заведите другую.

Спасибо.
$\zeta(x,y,z)=x\sqrt{y}z$

Подбор из тех соображений, чтобы частные производные давали то, что нужно. По сути -- интегрирование получается. Верно? Просто нужно взять тройной интеграл?

 
 
 
 Re: Потенциальность поля.
Сообщение14.11.2015, 02:08 
Нет, зачем тройной.
karandash_oleg в сообщении #1073205 писал(а):
Подбор из тех соображений, чтобы частные производные давали то, что нужно.
Запишите эти соображения, будет видно, думаю. Три частных производных. Три уравнения. Берем, решаем. Это как вариант.

 
 
 
 Re: Потенциальность поля.
Сообщение14.11.2015, 23:41 
Спасибо! Можно ли так?

$\Phi'_x=\sqrt{y}z,\Phi'_y=\dfrac{xz}{2\sqrt{y}},\Phi'_z=x\sqrt{y}$.

$\Phi=\displaystyle\int \sqrt{y}zdx=x\sqrt{y}z+\varphi(y,z)$

$\left(x\sqrt{y}z+\varphi(y,z)\right)'_y=\dfrac{xz}{2\sqrt{y}}$, значит $\varphi(y,z)=\varphi(z)$

$\left(x\sqrt{y}z+\varphi(y,z)\right)'_z=x\sqrt{y}$, значит $\varphi(y,z)=\operatorname{const}$

Тогда потенциал $\Phi=x\sqrt{y}z+\operatorname{const}$

Верно ли это? Считается, ли что потенциальность проверена?

 
 
 
 Re: Потенциальность поля.
Сообщение14.11.2015, 23:50 
Аватара пользователя
Да.

 
 
 
 Re: Потенциальность поля.
Сообщение15.11.2015, 00:32 
Brukvalub в сообщении #1073500 писал(а):
Да.

Спасибо!

 
 
 
 Re: Потенциальность поля.
Сообщение15.11.2015, 11:32 
Аватара пользователя
karandash_oleg
А это ничего, что у вас в первом посту ротор ненулевой?

 
 
 
 Re: Потенциальность поля.
Сообщение15.11.2015, 11:58 
А как так получилось найти потенциал Оо Я пока что не понимаю -- почему так вышло

 
 
 
 Re: Потенциальность поля.
Сообщение15.11.2015, 12:01 
Потому что ротор нашли коряво.

 
 
 
 Re: Потенциальность поля.
Сообщение15.11.2015, 12:02 
Аватара пользователя
karandash_oleg в сообщении #1073197 писал(а):
$$=\left( 0 - \dfrac{x}{2\sqrt{y}}\right) \mathbf e_x+
\left( \sqrt{y} -\sqrt{y}\right) \mathbf e_y+
\left( \dfrac{z}{2\sqrt{y}} -\frac{z}{2\sqrt{y}}\right) \mathbf e_z$$

Проверьте правильность самого первого нуля.

 
 
 
 Re: Потенциальность поля.
Сообщение15.11.2015, 13:02 
Разобрался, спасибо! Там должно быть $\dfrac{x}{2\sqrt{y}}$, a не ноль.

 
 
 [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group