Глобальность решений системы Лоренца

[demolishka]

Рассмотрим систему Лоренца

$$\left\{ \begin{aligned} \dot{x} & = & -\sigma x + \sigma y,\\ \dot{y} & = & rx - y - xz, \\ \dot{z} & = & -bz+xy. \end{aligned} \right.$$

Нужно показать, что все решения этой системы являются глобальными, т.е. заданы на $\mathbb{R}.$ Функция в правой части является локально липшицевой, поэтому локально решение существует и единственно. Будем рассматривать максимальные решения. Если показать, что решение $u=u(t,u_0)=(x(t),y(t),z(t))$ (где $x\not=0,y\not=0$) не выходит за пределы некоторого компактного множества, то, по известной теореме, оно будет определено для всех $t \in \mathbb{R}.$ Было указание использовать для этого функцию Ляпунова.

Насколько мне известно, функция Ляпунова применяется в вопросах об устойчивости нулевого решения. В данном случае это даст информацию, о притяжении ближайших к нулю орбит. А что будет с не ближайшими - не ясно. Или имелось в виду какое-то другое приложение функции Ляпунова?

[Red_Herring]

Если Вы найдёте функцию $V$ которая не возрастает вдоль траекторий то они будут захвачены в области $V(x,y,z)\le V(x_0,y_0,z_0)$

[demolishka]

Для $0<r<1$ функция Ляпунова выглядит как $V(x,y,z)=\frac{1}{2}(\frac{rx^2}{\sigma}+y^2+z^2)$. Производная в силу системы $\dot{V}(u)=-rx^2+2rxy-y^2-bz^2 < 0$ при $x\not=y\not=z\not=0.$ Отсюда следует, что для некоторого максимального решения $u(t)=(x(t),y(t),z(t))$ и $\forall t \geq 0$ выполнено $V(x(t),y(t),z(t)) \leq V(x_0,y_0,z_0).$ Следовательно, правый конец интервала, на котором определено максимальное решение - бесконечный. А как подступиться к левому концу?

Для $r \geq 1$ функцию Ляпунова пока не искал.

[Red_Herring]

Попробуйте контролируемое расширение. Ф-я Ляпунова при док-ве существования может зависеть от $t$, возьмите её $W(x,y,z)e^{\pm kt}$

[demolishka]

При $r>1$ ситуация прямо противоположная: имеется функция $V(x,y,z)$, такая что $\dot{V}(x,y,z)>0.$ Так что в этой ситуации возникает вопрос неограниченности правого конца интервала решения.

Я так понимаю, Вы предлагаете рассмотреть функции $V(x,y,z)e^{kt}$ для случая $0<r<1$ и $V(x,y,z)e^{-kt}$ для $r>1.$ Тогда задача сводится к тому, чтобы показать, что для любой траектории и при некотором $k>0$, зависящем от этой траектории, $V(x(t),y(t),z(t))e^{kt} \to 0$ при $t \to -\infty$ в первом случае и $V(x(t),y(t),z(t))e^{-kt} \to 0$ при $t \to +\infty$ во втором?

А нет, я бред написал. Надо, наверное, так: в предположении конечности соответствующего конца интервала для некоторого решения, показать что величина $V(x,y,z)e^{-kt}$ ограничена в полуокрестности этого конца при некотором $k>0$, тогда получим ограниченность всего решения.

[demolishka]

В общем, ответ на свой вопрос нашел здесь.