А откуда Вы берете
![$\{1\} \subset \{1,2\}$ $\{1\} \subset \{1,2\}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/c/1/cc1707c7bd70da0f79802d4d5bc0148782.png)
? Типа одно подстрока другого?
Ну, я это заключаю из того, что... да, что одно подстрока другого)
Ну да... может оно тут лишнее даже, но по способу заключения это разве не такое же утверждение, как
![$x \in \{1,2\}$ $x \in \{1,2\}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/5/f659a97988127cf0d67513bed12b368982.png)
? Мы же понимаем это непосредственно видя, что
![$\{1,2\}$ $\{1,2\}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/7/2/d724abf25a6ab4d8bb1dd8ecebd54c5382.png)
содержит элемент
![$1$ $1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/4/034d0a6be0424bffe9a6e7ac9236c0f582.png)
?
-- 11.11.2015, 18:02 --По поводу исходной задачи:
![$(A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)$ $(A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/0/c/60c3699c1389ac128c2ba7aa2e06795882.png)
Рассмотрим левую часть.
Пусть
![$x \in (A \cap B) \cup C$ $x \in (A \cap B) \cup C$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/8/3/7839e341bf1aed501cdaaa6004706bac82.png)
.
Тогда, либо
![$x \in (A \cap B)(1)$ $x \in (A \cap B)(1)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/1/9/7199f4f4201ec5893858bd083d1bef4782.png)
, либо
![$x \in C(2)$ $x \in C(2)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/3/6/236e2d222ebd8759945a2b5df881bcde82.png)
.
1). Если
![$x \in (A \cap B)$ $x \in (A \cap B)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/a/6/4a651d85e7e25130430c04621081f0d382.png)
, то
![$x \in A$ $x \in A$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/b/8/7b841c751621276ac77f2f984cb9a28182.png)
и
![$x \in B$ $x \in B$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/0/070c8de3dbb2f18a4352e7c12b9dfe5282.png)
.
Тогда
![$x \in (A \cup C)$ $x \in (A \cup C)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/4/934aef751552ba6c479fde5d113c98d582.png)
и
![$x \in (B \cup C)$ $x \in (B \cup C)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/1/f51d77561e03c27ec379e8c00cb1999e82.png)
(по определению объединению).
Следовательно
![$x \in (A \cup C) \cap (B \cup C)$ $x \in (A \cup C) \cap (B \cup C)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/6/6/06632068a53de998dee28de0f5635b4182.png)
.
2). Если
![$x \in C$ $x \in C$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/2/f/d2fe473d5384527c04474e8ddfc563b682.png)
, то так же
![$x \in (A \cup C)$ $x \in (A \cup C)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/4/934aef751552ba6c479fde5d113c98d582.png)
и
![$x \in (B \cup C)$ $x \in (B \cup C)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/1/f51d77561e03c27ec379e8c00cb1999e82.png)
.
Получаем, что во всех случаях, когда
![$x \in (A \cap B) \cup C$ $x \in (A \cap B) \cup C$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/8/3/7839e341bf1aed501cdaaa6004706bac82.png)
, также
![$x \in (A \cup C) \cap (B \cup C)$ $x \in (A \cup C) \cap (B \cup C)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/6/6/06632068a53de998dee28de0f5635b4182.png)
.
То есть
![$((A \cap B) \cup C) \subset ((A \cup C) \cap (B \cup C))$ $((A \cap B) \cup C) \subset ((A \cup C) \cap (B \cup C))$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/c/53c1963170c50266f779ee7b01683a2982.png)
.
Обратно.
Пусть
![$x \in (A \cup C) \cap (B \cup C)$ $x \in (A \cup C) \cap (B \cup C)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/6/6/06632068a53de998dee28de0f5635b4182.png)
, тогда
![$x \in (A \cup B)$ $x \in (A \cup B)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/f/27f63eaf2b78d0e602b97e873e0eba5a82.png)
и
![$x \in (A \cup C)$ $x \in (A \cup C)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/4/934aef751552ba6c479fde5d113c98d582.png)
.
Если
![$x \in (A \cup B)$ $x \in (A \cup B)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/f/27f63eaf2b78d0e602b97e873e0eba5a82.png)
, то
![$x \in A$ $x \in A$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/b/8/7b841c751621276ac77f2f984cb9a28182.png)
или
![$x \in C$ $x \in C$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/2/f/d2fe473d5384527c04474e8ddfc563b682.png)
.
Если
![$x \in (B \cup C)$ $x \in (B \cup C)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/1/f51d77561e03c27ec379e8c00cb1999e82.png)
, то
![$x \in B$ $x \in B$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/0/070c8de3dbb2f18a4352e7c12b9dfe5282.png)
или
![$x \in C$ $x \in C$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/2/f/d2fe473d5384527c04474e8ddfc563b682.png)
.
Возможны следующие случаи:
1).
![$x \in A$ $x \in A$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/b/8/7b841c751621276ac77f2f984cb9a28182.png)
,
![$x \in B$ $x \in B$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/0/070c8de3dbb2f18a4352e7c12b9dfe5282.png)
.
Тогда
![$x \in (A \cap B) \Rightarrow x \in (A \cap B) \cup C$ $x \in (A \cap B) \Rightarrow x \in (A \cap B) \cup C$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/5/1/a5115c6c7fc13d443695ed671d04445982.png)
.
2).
![$x \in A$ $x \in A$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/b/8/7b841c751621276ac77f2f984cb9a28182.png)
,
![$x \in C$ $x \in C$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/2/f/d2fe473d5384527c04474e8ddfc563b682.png)
.
Тогда
![$x \notin (A \cap B)$, но $x \in (A \cap B) \cup C$ $x \notin (A \cap B)$, но $x \in (A \cap B) \cup C$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/5/8e5693d532044133f10933e7dd8d993182.png)
.
3).
![$x \in C$ $x \in C$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/2/f/d2fe473d5384527c04474e8ddfc563b682.png)
Тогда
![$x \in (A \cap B) \cup C$ $x \in (A \cap B) \cup C$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/8/3/7839e341bf1aed501cdaaa6004706bac82.png)
.
4).
![$x \in C$ $x \in C$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/2/f/d2fe473d5384527c04474e8ddfc563b682.png)
,
![$x \in B$ $x \in B$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/0/070c8de3dbb2f18a4352e7c12b9dfe5282.png)
Тогда
![$x \in (A \cap B) \cup C$ $x \in (A \cap B) \cup C$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/8/3/7839e341bf1aed501cdaaa6004706bac82.png)
.
(В принципе достаточно рассмотреть только два варианта 1) и 3))
Так как во всех случаях, когда
![$x \in (A \cup C) \cap (B \cup C)$ $x \in (A \cup C) \cap (B \cup C)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/6/6/06632068a53de998dee28de0f5635b4182.png)
, также
![$x \in (A \cap B) \cup C$ $x \in (A \cap B) \cup C$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/8/3/7839e341bf1aed501cdaaa6004706bac82.png)
.
Это значит, что
![((A \cup C) \cap (B \cup C)) \subset $((A \cap B) \cup C)$ ((A \cup C) \cap (B \cup C)) \subset $((A \cap B) \cup C)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/e/c/1ec87f4e4fb064ce2260c518520f558982.png)
.
Из
![$((A \cap B) \cup C) \subset ((A \cup C) \cap (B \cup C))$ $((A \cap B) \cup C) \subset ((A \cup C) \cap (B \cup C))$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/c/53c1963170c50266f779ee7b01683a2982.png)
и
![((A \cup C) \cap (B \cup C)) \subset $((A \cap B) \cup C)$ ((A \cup C) \cap (B \cup C)) \subset $((A \cap B) \cup C)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/e/c/1ec87f4e4fb064ce2260c518520f558982.png)
Следует, что
![$(A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)$ $(A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/0/c/60c3699c1389ac128c2ba7aa2e06795882.png)
Такое доказательство подразумевалось под подробным?