Перестановка строк/столбцов в определителе.

[boriska]

Как доказать, что при перестановке двух строк/столбцов знак определителя меняется на противоположный? Я полагаю, что нужно действовать по определению.

Рассмотрим матрицу

Для матрицы $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$ определителем называется:

$$\Delta=\sum_{\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n} (-1)^{N(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)} \cdot a_{\alpha_11} \cdots a_{\alpha_nn}$$

,

где $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$ — перестановка чисел от $1$ до $n$, $N(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n)$ — число инверсий в перестановке, суммирование идёт по всем возможным перестановкам порядка $n$.

Поменяв строчки местами разве что-то вообще изменится, ведь там сумма, от перемены мест слагаемых...)

[Brukvalub]

Изменится число инверсий в каждой перестановке, дающей те же компоненты произведения, что и в исходной формуле.

[Aritaborian]

Или я сегодня неимоверно торможу, или высказанное утверждение верно по определению определителя матрицы.

[boriska]

Brukvalub в сообщении #1072168 писал(а):

Изменится число инверсий в каждой перестановке, дающей те же компоненты произведения, что и в исходной формуле.

Что-то все равно не пойму. Ну вот на примере определителя $3\times 3$, имеем:

$$\Delta = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}+ a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31}$$

$$\Delta = \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}+ a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31}$$

[Dan B-Yallay]

boriska в сообщении #1072174 писал(а):

Что-то все равно не пойму. Ну вот на примере определителя $3\times 3$, имеем:

$$\Delta = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}+ a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31}$$

$$\Delta = \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}+ a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31}$$

Давайте я тоже так попробую. На примере определителя 2х2:

$$\begin{vmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{vmatrix}= 1^2+1^2=3.141592... $$

Странно