Доказательство тождества (вопросы из учебника)

[bayah]

Здрасте.
В учебнике Шеня Начала теории множеств, есть вопрос:

Цитата:

Проведите подробное доказательство верных равенств предыдущей
задачи, исходя из определений. (Докажем, что множества в левой и правой
частях равны. Пусть x — любой элемент левой части равенства. Тогда. . .
Поэтому x входит в правую часть. Обратно, пусть . . .) Приведите контр-
примеры к неверным равенствам.

Примеры предыдущего задания, например такие:
$(A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)$

Каким образом предлагается провести доказательство я не совсем понимаю.
Тут же, для каждого такого примера нужно просто рассмотреть все сочетания расположения произвольного элемента в этих множествах.
То есть по сути составить таблицу истинности для трех аргументов обоих частей и сравнить их. Правильно я понимаю?
Или тут каким-то иным образом предлагается строить доказательство?

[Otta]

Стандартно.

bayah в сообщении #1071926 писал(а):

исходя из определений. (Докажем, что множества в левой и правой
частях равны. Пусть x — любой элемент левой части равенства. Тогда. . .
Поэтому x входит в правую часть. Обратно, пусть . . .)

[NSKuber]

bayah в сообщении #1071926 писал(а):

(Докажем, что множества в левой и правой
частях равны. Пусть x — любой элемент левой части равенства. Тогда. . .
Поэтому x входит в правую часть. Обратно, пусть . . .)

Вам прямым текстом написали, как строить доказательство. Не знаю, как ещё можно подсказать, чтобы не решить задачу. Надо воспользоваться определениями объединения и пересечения множеств.

[bayah]

NSKuber в сообщении #1071930 писал(а):

Вам прямым текстом написали, как строить доказательство. Не знаю, как ещё можно подсказать, чтобы не решить задачу. Надо воспользоваться определениями объединения и пересечения множеств.

Можете привести пример такого доказательства?

[Sonic86]

bayah в сообщении #1071936 писал(а):

NSKuber в сообщении #1071930 писал(а):

Вам прямым текстом написали, как строить доказательство. Не знаю, как ещё можно подсказать, чтобы не решить задачу. Надо воспользоваться определениями объединения и пересечения множеств.

Можете привести пример такого доказательства?

А как доказать, что $\{1\}\cup\{2\}=\{1,2\}$ знаете? Если да - то вот точно так же как и здесь. Если нет, то сначала докажите это равенство.

[Null]

Докажем что $ A\cup A=A$:
Если $x \in A\cup A$ то он принадлежит $A$ или $A$, в обоих случаях $x \in A$.
Если $x \in A$, то он принадлежит первому множеству из объединяемых, а, значит, и их объединению $A\cup A$.

[iifat]

bayah в сообщении #1071926 писал(а):

Тут же, для каждого такого примера нужно просто рассмотреть все сочетания расположения произвольного элемента в этих множествах.
То есть по сути составить таблицу истинности для трех аргументов обоих частей и сравнить их. Правильно я понимаю?

В сущности, да.
Иногда можно подсократить. Необязательно составлять полные таблицы.

[bayah]

Sonic86 в сообщении #1071940 писал(а):

А как доказать, что $\{1\}\cup\{2\}=\{1,2\}$ знаете? Если да - то вот точно так же как и здесь. Если нет, то сначала докажите это равенство.

Пусть $x \in \{1\} \cup \{2\}$, тогда по определению объединения или $x \in \{1\}$ или $x \in \{2\}$.
Если $x \in \{1\}$, то $x \in \{1, 2\}$, т.к. $\{1\} \subset \{1,2\}$.
Если $x \in \{2\}$, то $x \in \{1, 2\}$, т.к. $\{2\} \subset \{1,2\}$.
Следовательно $\{1\} \cup \{2\} \subset \{1, 2\}, \eqno(1)$

Обратно, если $x \in \{1, 2\}$, то или $x \in \{1\}$ или $x \in \{2\}$.
В обоих случаях по определению объединения $x \in \{1\} \cup \{2\}$.
Следовательно $\{1, 2\} \subset \{1\} \cup \{2\}, \eqno(2)$

Т.к. выполняется $(1)$ и $(2)$, то $\{1\}\cup\{2\}=\{1,2\}$.

Так?

[provincialka]

С одной стороны, это верно. Но, если уж мы доказываем "очевидный" факт, не стоит опираться на другие "очевидные" факты. Лучше проводить доказательство не в терминах подмножеств, а в терминах элементов.

[Sonic86]

bayah в сообщении #1072199 писал(а):

Обратно, если $x \in \{1, 2\}$, то или $x \in \{1\}$ или $x \in \{2\}$.
В обоих случаях по определению объединения $x \in \{1\} \cup \{2\}$.
Следовательно $\{1, 2\} \subset \{1\} \cup \{2\}, \eqno(2)$

Вот тут все верно. Только значок я бы написал $\subseteq$.

bayah в сообщении #1072199 писал(а):

Если $x \in \{1\}$, то $x \in \{1, 2\}$, т.к. $\{1\} \subset \{1,2\}$.

А откуда Вы берете $\{1\} \subset \{1,2\}$? Типа одно подстрока другого?
Хотя Вам Null пример тоже написал - посмотрите его.
Общий принцип такой: превращаете теоретико-множественное соотношение в изоморфное логическое, преобразовываете логическое соотношение в другое логическое соотношение, преобразуете его обратно в теоретико-множественное.

[bayah]

Sonic86 в сообщении #1072214 писал(а):

А откуда Вы берете $\{1\} \subset \{1,2\}$? Типа одно подстрока другого?

Ну, я это заключаю из того, что... да, что одно подстрока другого)
Ну да... может оно тут лишнее даже, но по способу заключения это разве не такое же утверждение, как $x \in \{1,2\}$? Мы же понимаем это непосредственно видя, что $\{1,2\}$ содержит элемент $1$?

-- 11.11.2015, 18:02 --

По поводу исходной задачи:
$(A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)$

Рассмотрим левую часть.
Пусть $x \in (A \cap B) \cup C$.
Тогда, либо $x \in (A \cap B)(1)$, либо $x \in C(2)$.
1). Если $x \in (A \cap B)$, то $x \in A$ и $x \in B$.
Тогда $x \in (A \cup C)$ и $x \in (B \cup C)$ (по определению объединению).
Следовательно $x \in (A \cup C) \cap (B \cup C)$.
2). Если $x \in C$, то так же $x \in (A \cup C)$ и $x \in (B \cup C)$.
Получаем, что во всех случаях, когда $x \in (A \cap B) \cup C$, также $x \in (A \cup C) \cap (B \cup C)$.
То есть $((A \cap B) \cup C) \subset ((A \cup C) \cap (B \cup C))$.

Обратно.
Пусть $x \in (A \cup C) \cap (B \cup C)$, тогда $x \in (A \cup B)$ и $x \in (A \cup C)$.
Если $x \in (A \cup B)$, то $x \in A$ или $x \in C$.
Если $x \in (B \cup C)$, то $x \in B$ или $x \in C$.
Возможны следующие случаи:
1). $x \in A$, $x \in B$.
Тогда $x \in (A \cap B) \Rightarrow x \in (A \cap B) \cup C$.
2). $x \in A$, $x \in C$.
Тогда $x \notin (A \cap B)$, но $x \in (A \cap B) \cup C$.
3). $x \in C$
Тогда $x \in (A \cap B) \cup C$.
4). $x \in C$, $x \in B$
Тогда $x \in (A \cap B) \cup C$.
(В принципе достаточно рассмотреть только два варианта 1) и 3))

Так как во всех случаях, когда $x \in (A \cup C) \cap (B \cup C)$, также $x \in (A \cap B) \cup C$.
Это значит, что ((A \cup C) \cap (B \cup C)) \subset $((A \cap B) \cup C)$.

Из $((A \cap B) \cup C) \subset ((A \cup C) \cap (B \cup C))$ и
((A \cup C) \cap (B \cup C)) \subset $((A \cap B) \cup C)$

Следует, что $(A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)$

Такое доказательство подразумевалось под подробным?

[NSKuber]

Именно оно.

[Sonic86]

bayah в сообщении #1072217 писал(а):

Такое доказательство подразумевалось под подробным?

Да, только Вы в середине пользуетесь перебором вариантов, а можно пользоваться напрямую дистрибутивностью логических операций. На самом деле можно прямо писать вещи типа "$x\in C$ или $x\in A$ и $x\in B$ равносильно тому, что $x\in C$ и $x\in A$ или $x\in C$ и $x\in B$".

bayah в сообщении #1072217 писал(а):

Ну, я это заключаю из того, что... да, что одно подстрока другого)

раскусил но подобные вещи чисто синтаксические, их надо доказывать отдельно.

bayah в сообщении #1072217 писал(а):

Ну да... может оно тут лишнее даже, но по способу заключения это разве не такое же утверждение, как $x \in \{1,2\}$? Мы же понимаем это непосредственно видя, что $\{1,2\}$ содержит элемент $1$?

вопрос о том, как мы это понимаем, к математике не относится - это из области работы мозга. Тут вообще все понятно, только мы какие-то утверждения должны принять как аксиомы, а другие вывести из них как теоремы.