2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказательство тождества (вопросы из учебника)
Сообщение10.11.2015, 08:25 


03/04/14
303
Здрасте.
В учебнике Шеня Начала теории множеств, есть вопрос:

Цитата:
Проведите подробное доказательство верных равенств предыдущей
задачи, исходя из определений. (Докажем, что множества в левой и правой
частях равны. Пусть x — любой элемент левой части равенства. Тогда. . .
Поэтому x входит в правую часть. Обратно, пусть . . .) Приведите контр-
примеры к неверным равенствам.


Примеры предыдущего задания, например такие:
$(A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)$

Каким образом предлагается провести доказательство я не совсем понимаю.
Тут же, для каждого такого примера нужно просто рассмотреть все сочетания расположения произвольного элемента в этих множествах.
То есть по сути составить таблицу истинности для трех аргументов обоих частей и сравнить их. Правильно я понимаю?
Или тут каким-то иным образом предлагается строить доказательство?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство тождества (вопросы из учебника)
Сообщение10.11.2015, 08:38 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Стандартно.
bayah в сообщении #1071926 писал(а):
исходя из определений. (Докажем, что множества в левой и правой
частях равны. Пусть x — любой элемент левой части равенства. Тогда. . .
Поэтому x входит в правую часть. Обратно, пусть . . .)

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство тождества (вопросы из учебника)
Сообщение10.11.2015, 08:40 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
bayah в сообщении #1071926 писал(а):
(Докажем, что множества в левой и правой
частях равны. Пусть x — любой элемент левой части равенства. Тогда. . .
Поэтому x входит в правую часть. Обратно, пусть . . .)

Вам прямым текстом написали, как строить доказательство. Не знаю, как ещё можно подсказать, чтобы не решить задачу. Надо воспользоваться определениями объединения и пересечения множеств.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство тождества (вопросы из учебника)
Сообщение10.11.2015, 09:09 


03/04/14
303
NSKuber в сообщении #1071930 писал(а):
Вам прямым текстом написали, как строить доказательство. Не знаю, как ещё можно подсказать, чтобы не решить задачу. Надо воспользоваться определениями объединения и пересечения множеств.


Можете привести пример такого доказательства?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство тождества (вопросы из учебника)
Сообщение10.11.2015, 09:42 
Заслуженный участник


08/04/08
8557
bayah в сообщении #1071936 писал(а):
NSKuber в сообщении #1071930 писал(а):
Вам прямым текстом написали, как строить доказательство. Не знаю, как ещё можно подсказать, чтобы не решить задачу. Надо воспользоваться определениями объединения и пересечения множеств.


Можете привести пример такого доказательства?
А как доказать, что $\{1\}\cup\{2\}=\{1,2\}$ знаете? Если да - то вот точно так же как и здесь. Если нет, то сначала докажите это равенство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство тождества (вопросы из учебника)
Сообщение10.11.2015, 09:51 
Заслуженный участник


12/08/10
1646
Докажем что $ A\cup A=A$:
Если $x \in A\cup A$ то он принадлежит $A$ или $A$, в обоих случаях $x \in A$.
Если $x \in A$, то он принадлежит первому множеству из объединяемых, а, значит, и их объединению $A\cup A$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство тождества (вопросы из учебника)
Сообщение10.11.2015, 10:18 
Заслуженный участник


16/02/13
4132
Владивосток
bayah в сообщении #1071926 писал(а):
Тут же, для каждого такого примера нужно просто рассмотреть все сочетания расположения произвольного элемента в этих множествах.
То есть по сути составить таблицу истинности для трех аргументов обоих частей и сравнить их. Правильно я понимаю?
В сущности, да.
Иногда можно подсократить. Необязательно составлять полные таблицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство тождества (вопросы из учебника)
Сообщение11.11.2015, 04:49 


03/04/14
303
Sonic86 в сообщении #1071940 писал(а):
А как доказать, что $\{1\}\cup\{2\}=\{1,2\}$ знаете? Если да - то вот точно так же как и здесь. Если нет, то сначала докажите это равенство.


Пусть $x \in \{1\} \cup \{2\}$, тогда по определению объединения или $x \in \{1\}$ или $x \in \{2\}$.
Если $x \in \{1\}$, то $x \in \{1, 2\}$, т.к. $\{1\} \subset \{1,2\}$.
Если $x \in \{2\}$, то $x \in \{1, 2\}$, т.к. $\{2\} \subset \{1,2\}$.
Следовательно $\{1\} \cup \{2\} \subset \{1, 2\}, \eqno(1)$

Обратно, если $x \in \{1, 2\}$, то или $x \in \{1\}$ или $x \in \{2\}$.
В обоих случаях по определению объединения $x \in \{1\} \cup \{2\}$.
Следовательно $\{1, 2\} \subset \{1\} \cup \{2\}, \eqno(2)$

Т.к. выполняется $(1)$ и $(2)$, то $\{1\}\cup\{2\}=\{1,2\}$.

Так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство тождества (вопросы из учебника)
Сообщение11.11.2015, 08:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
С одной стороны, это верно. Но, если уж мы доказываем "очевидный" факт, не стоит опираться на другие "очевидные" факты. Лучше проводить доказательство не в терминах подмножеств, а в терминах элементов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство тождества (вопросы из учебника)
Сообщение11.11.2015, 09:24 
Заслуженный участник


08/04/08
8557
bayah в сообщении #1072199 писал(а):
Обратно, если $x \in \{1, 2\}$, то или $x \in \{1\}$ или $x \in \{2\}$.
В обоих случаях по определению объединения $x \in \{1\} \cup \{2\}$.
Следовательно $\{1, 2\} \subset \{1\} \cup \{2\}, \eqno(2)$
Вот тут все верно. Только значок я бы написал $\subseteq$.

bayah в сообщении #1072199 писал(а):
Если $x \in \{1\}$, то $x \in \{1, 2\}$, т.к. $\{1\} \subset \{1,2\}$.
А откуда Вы берете $\{1\} \subset \{1,2\}$? Типа одно подстрока другого? :-)
Хотя Вам Null пример тоже написал - посмотрите его.
Общий принцип такой: превращаете теоретико-множественное соотношение в изоморфное логическое, преобразовываете логическое соотношение в другое логическое соотношение, преобразуете его обратно в теоретико-множественное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство тождества (вопросы из учебника)
Сообщение11.11.2015, 10:13 


03/04/14
303
Sonic86 в сообщении #1072214 писал(а):
А откуда Вы берете $\{1\} \subset \{1,2\}$? Типа одно подстрока другого?


Ну, я это заключаю из того, что... да, что одно подстрока другого)
Ну да... может оно тут лишнее даже, но по способу заключения это разве не такое же утверждение, как $x \in \{1,2\}$? Мы же понимаем это непосредственно видя, что $\{1,2\}$ содержит элемент $1$?

-- 11.11.2015, 18:02 --

По поводу исходной задачи:
$(A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)$

Рассмотрим левую часть.
Пусть $x \in (A \cap B) \cup C$.
Тогда, либо $x \in (A \cap B)(1)$, либо $x \in C(2)$.
1). Если $x \in (A \cap B)$, то $x \in A$ и $x \in B$.
Тогда $x \in (A \cup C)$ и $x \in (B \cup C)$ (по определению объединению).
Следовательно $x \in (A \cup C) \cap (B \cup C)$.
2). Если $x \in C$, то так же $x \in (A \cup C)$ и $x \in (B \cup C)$.
Получаем, что во всех случаях, когда $x \in (A \cap B) \cup C$, также $x \in (A \cup C) \cap (B \cup C)$.
То есть $((A \cap B) \cup C) \subset ((A \cup C) \cap (B \cup C))$.

Обратно.
Пусть $x \in (A \cup C) \cap (B \cup C)$, тогда $x \in (A \cup B)$ и $x \in (A \cup C)$.
Если $x \in (A \cup B)$, то $x \in A$ или $x \in C$.
Если $x \in (B \cup C)$, то $x \in B$ или $x \in C$.
Возможны следующие случаи:
1). $x \in A$, $x \in B$.
Тогда $x \in (A \cap B) \Rightarrow x \in (A \cap B) \cup C$.
2). $x \in A$, $x \in C$.
Тогда $x \notin (A \cap B)$, но $x \in (A \cap B) \cup C$.
3). $x \in C$
Тогда $x \in (A \cap B) \cup C$.
4). $x \in C$, $x \in B$
Тогда $x \in (A \cap B) \cup C$.
(В принципе достаточно рассмотреть только два варианта 1) и 3))

Так как во всех случаях, когда $x \in (A \cup C) \cap (B \cup C)$, также $x \in (A \cap B) \cup C$.
Это значит, что ((A \cup C) \cap (B \cup C)) \subset $((A \cap B) \cup C)$.

Из $((A \cap B) \cup C) \subset ((A \cup C) \cap (B \cup C))$ и
((A \cup C) \cap (B \cup C)) \subset $((A \cap B) \cup C)$

Следует, что $(A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)$

Такое доказательство подразумевалось под подробным?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство тождества (вопросы из учебника)
Сообщение11.11.2015, 14:16 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
Именно оно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство тождества (вопросы из учебника)
Сообщение11.11.2015, 17:20 
Заслуженный участник


08/04/08
8557
bayah в сообщении #1072217 писал(а):
Такое доказательство подразумевалось под подробным?
Да, только Вы в середине пользуетесь перебором вариантов, а можно пользоваться напрямую дистрибутивностью логических операций. На самом деле можно прямо писать вещи типа "$x\in C$ или $x\in A$ и $x\in B$ равносильно тому, что $x\in C$ и $x\in A$ или $x\in C$ и $x\in B$".

bayah в сообщении #1072217 писал(а):
Ну, я это заключаю из того, что... да, что одно подстрока другого)
раскусил :-) но подобные вещи чисто синтаксические, их надо доказывать отдельно.

bayah в сообщении #1072217 писал(а):
Ну да... может оно тут лишнее даже, но по способу заключения это разве не такое же утверждение, как $x \in \{1,2\}$? Мы же понимаем это непосредственно видя, что $\{1,2\}$ содержит элемент $1$?
вопрос о том, как мы это понимаем, к математике не относится - это из области работы мозга. Тут вообще все понятно, только мы какие-то утверждения должны принять как аксиомы, а другие вывести из них как теоремы.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group