неравенство из Тибета

[maxal]

Для любых положительных вещественных чисел $a,b,c,d,e$ докажите неравенство:

$$(bcde+acde+abde+abce+abcd)^4\geqslant 125(a+b+c+d+e)(abcde)^3.$$

(источник)

[Edward_Tur]

$$x=\frac1a,y=\frac1b,...,$$

$$(x+y+z+u+v)^4\ge125(yzuv+xzuv+xyuv+xyzv+xyzu).$$

Последнее неравенство следует из неравенства Мюрхеда.

[Sergic Primazon]

maxal в сообщении #1071349 писал(а):

Для любых положительных вещественных чисел $a,b,c,d,e$ докажите неравенство:

$$(bcde+acde+abde+abce+abcd)^4\geqslant 125(a+b+c+d+e)(abcde)^3.$$

это частный случай неравенства Маклорена:

$$x_i=\frac{1}{a_i}$$

$$\frac{x_1+x_2+...+x_n}{\binom{1}{n}} \ge \sqrt[4] {\frac{\sum{x_{i1}x_{i2}x_{i3}x_{i4}}}{\binom{4}{n}}}$$