инъективное отображение, алгебра

[Таня Тайс]

Дана коммутативная диаграмма, где все отображения инъективны,
три очевидны, а четвертая и есть мой вопрос:

$$K^{*} \to (K \otimes _{k} K)^{*} $$ $$ x \longmapsto 1\otimes x;$$ $$ id \colon K^{*} \to K^{*};$$ $$ K^{*} \to GL_{3}(K) $$ $$x \longmapsto \begin {pmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & x & 0 \\ 0 & 0 & x \end {pmatrix} ;$$ $$ ? \colon (K \otimes _{k} K)^{*} \to GL_{3}(K)$$

Не получилось по-человечески диаграмму нарисовать, sorry...
Это не срочно, но очень важно для меня. Хотя бы какие-то идеи...

как водится, поле $K$ расширение поля $k$,
$K^{*}= K $ без нуля

[Таня Тайс]

Вообще-то вместо $ GL_{3}$ должно быть $GL_{n}$,
где $n$ это порядок группы Галуа, $[K:k]=n$, я заменила на 3, не всё ли равно.

Но думаю, мне не отвечают не поэтому, поэтому попытаюсь сформулировать вопрос по другому:
Я знаю, что $ (K \otimes K)^{*}$ можно рассматривать как линейное пространство
размерности $dim_{k}K=n$
Мой вопрос был $ f \colon (K \otimes_{k} K)^{*} \to Aut_{K}((K \otimes_{k} K)^{*} ) \approx GL_{n}(K)$
Как выглядит эта $f$?
$f(x \otimes y)(a \otimes b):=(xa) \otimes (yb)$
Может ли кто- нибудь объяснить, что это значит?

[maxal]

Таня Тайс писал(а):

Мой вопрос был $ f \colon (K \otimes_{k} K)^{*} \to Aut_{K}((K \otimes_{k} K)^{*} ) \approx GL_{n}(K)$
Как выглядит эта $f$?
$f(x \otimes y)(a \otimes b):=(xa) \otimes (yb)$
Может ли кто- нибудь объяснить, что это значит?

Не понял вопроса. Если вам необходимо объяснить формулу:
$f(x \otimes y)(a \otimes b):=(xa) \otimes (yb)$,
то $x \otimes y$ здесь - это элемент $(K \otimes_{k} K)^{*}$,
$f(x \otimes y)$ - это образ элемента $x \otimes y$ при отображении $f$. Этот образ является автоморфизмом из $Aut_{K}((K \otimes_{k} K)^{*} )$, который для меньшей путаницы можно обозначить, например:

$$\varphi_{x \otimes y}=f(x \otimes y)\in Aut_{K}((K \otimes_{k} K)^{*} ).$$

При этом действие $\varphi_{x \otimes y}$ на элементах $(K \otimes_{k} K)^{*}$ определяется по формуле:

$$\varphi_{x \otimes y}(a \otimes b)=(xa) \otimes (yb),$$

где $xa$ и $ya$ - это обычные произведения элементов поля $K$.

[Таня Тайс]

Можно ли продолжить так $dim_{K}(K\otimes_{k} K)=dim_{k}K =n$, значит $ K \otimes_{k} K \cong K^{n} $ как линейные пространства с одинаковой размерностью.
$ Aut_{K} (K \otimes_{k} K) =Aut_{K} (K^{n})=GL_{n}(K)$

Добавлено спустя 7 минут 25 секунд:

Если $ a_{1}, \dots , a_{n}$ базис $ K $ как линейного пространства над $k$, тогда $ a_{1} \otimes 1, \dots , a_{n} \otimes 1 $ базис $ K \otimes_{k} K $ как линейного пространства над $K$

Добавлено спустя 20 минут 45 секунд:

maxal писал(а):

При этом действие $\varphi_{x \otimes y}$ на элементах $(K \otimes_{k} K)^{*}$ определяется по формуле:

$$\varphi_{x \otimes y}(a \otimes b)=(xa) \otimes (yb),$$

где $xa$ и $ya$ - это обычные произведения элементов поля $K$.

Тогда

$$\varphi_{x \otimes y}(a_{i} \otimes 1)=(xa_{i}) \otimes (y) $$

действие на элементы базиса.
$xa_{i} \in K $, значит, $xa_{i} = \lambda_{1} a_{1} + \dots + \lambda_{n} a_{n} $, где $ \lambda_{i} \in k $
Тогда

$$(xa_{i}) \otimes (y) = a_{1} \otimes \lambda_{1}y +\dots + a_{n} \otimes \lambda_{n}y $$

Я пытаюсь написать матрицу, представляющую отображение $ (K \otimes_{k} K)^{*} \to Aut_{K} (K \otimes_{k} K)$

Мог бы кто-нибудь проверить и/или исправить неточности?

[lofar]

Да, все верно. $\varphi_{1\otimes x}(a_i\otimes 1) = a_i\otimes x = (a_i\otimes 1)\cdot x$, то есть $\varphi_{1\otimes x}$ есть просто умножение на $x$. Это доказывает коммутативность диаграммы о которой Вы говорили в первом сообщении.


Тензорные произведения затуманили суть дела. Тут все очень просто.

Если $A_K$ --- векторное пространство над $K$, то множество его эндоморфизмов $End(A_K)$ является $K$-алгеброй. Если, к тому же, само пространство $A_K$ алгебра, то для любого $a\in A$ отображение $l_a\colon x\mapsto ax$ лежит в $End(A_K)$ и соответствие $A\ni a\mapsto l_a\in End(A_K)$ задает гомоморфизм $K$-алгебр.

Остается заметить, что если $\varphi\colon A\to B$ --- гомоморфизм $K$-алгебр, то $\varphi(A^*)\subseteq B^*$ и значит отображение $A^*\ni x\mapsto\varphi(x)\in B^*$ есть гомоморфизм групп.