1^k+2^k+...+x^k=0

[iancaple]

$1^k+2^k+...+n^k$ при каждом натуральном $k$ является многочленом от $n$ степени $k+1$ :
$P_{k+1}(n)$. Существуют ли $k,x>0:P_{k+1}(x)=0$ ?

[Sergic Primazon]

$P_{4+1}(x)= \frac{x(x+1)(2x+1)(3x^2+3x-1)}{30}$
$P_{5+1}(x)= \frac{x^2(x+1)^2(2x^2+2x-1)}{12}$

[iancaple]

Sergic Primazon в сообщении #1070623 писал(а):

$P_{4+1}(x)= \frac{x(x+1)(2x+1)(3x^2+3x-1)}{30}$
$P_{5+1}(x)= \frac{x^2(x+1)^2(2x^2+2x-1)}{12}$

Спасибо. Как находили? А может это уже где-то есть в сети?

[Otta]

Матпакеты считают при не слишком больших $n$.

[provincialka]

Для таких $k$ и вручную можно посчитать.

[iancaple]

Собственно, дело как раз в том, что все начали обсуждать, а не в задачке. Мне хотелось чтоб матпакеты считали для больших $k$ и рисовали (и казалось, естественный для всех отрезок $[-1;0]$). А для этого найти у многочленов более конструктивные свойства, чем их определение.
1.Считать многочлен интерполяционным для точек $x=-1,0,...k+1$, только коэффициенты получаются не в рациональном виде.Умножать на факториал можно, пока он не слишком велик.
2.Очевидное $P_{k+1}(x)-P_{k+1}(x-1)=x^k$ раз верно при $x$ натуральном, то и тождественно
3.Возьмем от этого тождества производную и получим

$$P_{k+1}'(x)-P_{k+1}'(x-1)=kx^{k-1}=k(P_k(x)-P_k(x-1))$$

$P_{k+1}'(x)-kP_k(x)=C_k$ не зависит от $x$, и с учетом $P_{k+1}(0)=0$ можно находить многочлены последовательным символьным интегрированием, если знать эти $C_k$-интересная последовательность, но не целочисленная, не знаю, можно ли задать ее формулой.
4.Еще есть много всякого разного, типа

$$P_{k+1}\left(x+\frac 12\right)+P_{k+1}\left(x\right)=P_{k+1}\left(-\frac 12\right)+2^{-k}P_{k+1}\left(2x+1\right)$$

Но ощущение, что самое простое и ценное еще не знаю

[maxal]

См. https://en.wikipedia.org/wiki/Faulhaber%27s_formula

[iancaple]

maxal, спасибо! Действительно, ссылка исчерпывает вопрос о конструктивном определении этих полиномов, $C_k$ выражаются через числа Бернулли. Несколько лет назад в вики было гораздо меньше об этом, и меня не удовлетворило, а сейчас я просто не знал, на чье имя искать, пробовал equipotential sums.