Пределы

[Hop]

Требуется найти пределы:

1) $\lim\limits_{n\to\infty}(1+(-\frac{1}{2})^n)$

2) $$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin(x^n)}{\sin^m(x)},\;n,m \in \mathbb{N}$

Решил следующим образом:

1) $\lim\limits_{n\to\infty}(1+(-\frac{1}{2})^n)=\lim\limits_{n\to\infty}1+\lim\limits_{n\to\infty}(-\frac{1}{2})^n=1$

2) $$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin(x^n)}{\sin^m(x)} =\lim\limits_{x\to0}\frac {\sin(x^n)x^nx^m}{\sin^m(x)x^nx^m}=\lim\limits_{x\to0}\frac{x^n}{x^m}$

Вопросы такие:

1) Нормально ли то, что в первом примере у меня$1+(\pm0)=1$?Не считается ли это ошибкой?

2) Во втором примере у меня выходит неопределенность$$\frac{0}{0}$, следует ли с этим что-то делать или это итоговый ответ?

[provincialka]

1) Нормально
2) Следует сделать. Это не ответ.

(Оффтоп)

сократите

[Dmitry Tkachenko]

Hop, во втором рассмотрите случаи $n>m, n=m$ и $n<m$ по отдельности. Для каждого случая свой ответ.

[Dan B-Yallay]

В первом примере я бы еще сначала доказал сходимость последовательности, чтобы обосновать внесение предела под скобки. Или это для более продвинутых курсов трэба?

[iifat]

Hop в сообщении #1069415 писал(а):

Нормально ли

Нормально ли то, что вы считаете $\lim\limits_{n\to\infty}\left(-\frac12\right)^n=\pm0$? Нет, это не нормально. Предел равен нулю, абсолютно честному нулю, и это стоит понять.