Прямоугольный треугольник

[Sicker]

Пусть есть прямоугольный треугольник с прямым углом $C$ и углами $A=\frac{\pi}{3}$ и $B=\frac{\pi}{6}$
Пусть мы можем варьировать угол $A$ при сохранении длин сторон $b$ и $c$, и тогда угол $B$ будет функцией от угла $A$
Найти третью производную от этой функции в точке $A=\frac{\pi}{3}$

[NSKuber]

Используя теоремы синусов-косинусов, легко получить

$$\sin B=\frac{\sin A}{\sqrt{5-4\cos A}}, \cos B=\frac{2-\cos A}{\sqrt{5-4\cos A}}$$

Далее, пусть $B=B(A)$. Продифференцируем первое выражение по $A$:

$$B'(A)\cos B=\frac{2(2-\cos A)(\cos A-0.5)}{(\sqrt{5-4\cos A})^3}$$

Подставив известный косинус, имеем:

$$B'(A)=\frac{1}{2}(1 - \frac{3}{5-4\cos A})$$

Эта штука уже просто дважды дифференцируется и подставляется угол, выходит единичка.

Раз тема в олимпиадном разделе, возможно, предполагалось нечто более изящное.

[Sicker]

Да уж, вы правы.
Тогда найти вторую производную от изменения расстояния между центрами пересечения высот и биссектрис.
Тут я думаю вам так не обойтись

[Sicker]

Никого не заинтересовала?