Единственность решения при неограниченном управлении

[1r0pb]

Добрый день.
Прикрепил теорему с доказательством + замечание 2 к теореме.


Доказательство осознал, все в порядке, но такой вопрос:
как привязать дополнительное условие из замечания 2 к доказательству теоремы?
Заранее спасибо.

[1r0pb]

Постараюсь более конкретно спросить: если доказательство остается в силе, то какую смысловую нагрузку несет оценка из замечания 2 (она там указана, но я ее не могу понять)?
Исходя из оценки можно получить
$\dot{x}(t)=f(t,x,u) \Rightarrow x(t)-x({t}_{0})=\int_{{t}_{0}}^{t}f(\tau ,x(\tau ),u(\tau ))d\tau \Rightarrow |x(t)-x({t}_{0})|=\\ =|\int_{{t}_{0}}^{t}f(\tau ,x(\tau ),u(\tau ))d\tau |\leq \int_{{t}_{0}}^{t}|f(\tau ,x(\tau ),u(\tau ))|d\tau \leq \int_{{t}_{0}}^{t}[{C}_{0}(|x|+{|u|}^{p})+{C}_{1}(\tau )]d\tau .$