Матр дифференциалов, внешнее произведение

[RgWhite]

Дана матрица из $GL(2,\mathbb R)$:

$$X=\left(\begin{array}{ccc} x&y\\ z&t \end{array}\right)$$

, где $xt-yz\neq 0$. Тогда

$$dX=\left(\begin{array}{ccc} dx&dy\\ dz&dt \end{array}\right)$$

.

$$\Omega=X^{-1}dX=\left(\begin{array}{ccc} \omega_{11}&\omega_{12}\\ \omega_{21}&\omega_{22} \end{array}\right)$$

, где $\omega_{ij}=f_{ij}^{1}dx+f_{ij}^{2}dy+f_{ij}^{3}dz+f_{ij}^{4}dt$ - дифференциальная форма.
Причем $\Omega(AX)=\Omega(X)$.
Так вот, нужно найти $\omega_{ij}$ и их произведение $\omega_{11}\wedge\omega_{12}\wedge\omega_{21}\wedge\omega_{22}$. И тоже самое для $SL(2,\mathbb R)$, в чем будет отличие?
Находим матрицу

$$\Omega=X^{-1}dX=\frac{1}{xt-yz}\left(\begin{array}{ccc} t&-y\\ -z&x \end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc} dx&dy\\ dz&dt \end{array}\right)=\frac{1}{xt-yz}\left(\begin{array}{ccc} tdx-ydz&tdy-ydt\\ -zdx+xdz&xdt-zdy \end{array}\right)$$

Теперь произведение $\omega_{11}\wedge\omega_{12}\wedge\omega_{21}\wedge\omega_{22}=\frac{1}{xt-yz}(tdx-ydz)\wedge(tdy-ydt)\wedge(-zdx+xdz)\wedge(xdt-zdy)=\frac{1}{xt-yz}(t^2dx\wedge dy-ytdx\wedge dt-ytdz\wedge dy+y^2dz\wedge dt)\wedge(-xzdx\wedge dt+z^2dx\wedge dy+x^2dz\wedge dt-xzdz\wedge dy)=\frac{1}{xt-yz}(x^2t^2dx\wedge dy\wedge dz\wedge dt+xyztdx\wedge dt\wedge dz\wedge dy+xyztdz\wedge dy\wedge dx\wedge dt+y^2z^2dz\wedge dt\wedge dx\wedge dy)=\frac{1}{xt-yz}(x^2t^2+2xyzt+y^2z^2)dx\wedge dy\wedge dz\wedge dt$
Проверьте пожалуйста, помоему там что-то не так я со знаками натворил, да и вообще незнай правильно ли перемножил.

[Brukvalub]

У среднего члена должен быть знак "минус".

[RgWhite]

С этим разобрался. А когда SL(2,R), что изменится?

[Brukvalub]

RgWhite писал(а):

С этим разобрался. А когда SL(2,R), что изменится?

Получится 0.

[RgWhite]

Можно поподробней почему будет 0?

[Brukvalub]

RgWhite писал(а):

Можно поподробней почему будет 0?

Продифференцируйте определитель.

[RgWhite]

Теперь все понял, огромное спасибо!