ДУ с параметром

[Бабай]

Здравствуйте, есть вопросик

дана вот такая задача Коши $\dot{x}=\frac{x^2}{x^2+\varepsilon}\sqrt{|x|},\, x(0)=0$

Что можно сказать о единственности решений при $\varepsilon>0$?

При $\varepsilon=0$ имеем стандартный пример неединственности решения. Можно ли тогда для $\varepsilon>0$ аргументировать в рамках непрерывной зависимости от параметра, что свойство неединственности сохранится?

[dsge]

Как доказывается единственность? Условие Липшитца зачем необходимо? Проверить правую часть на условие Липшитца.

[Бабай]

При вычислении производной от правой части $f$ по $x$ или оценке отношения $|f(x)|/|x|$ должно получаться, что условие Липшица в нуле не выполнено. Однако там встречается произведение $\frac{x^2}{x^2+\varepsilon}\frac{1}{\sqrt{|x|}}$, которое себя ведёт видимо по-разному при переходе $x \to 0$ для разных $\varepsilon$, или нет?

[dsge]

Бабай в сообщении #1067894 писал(а):

При вычислении производной от правой части $f$ по $x$ или оценке отношения $|f(x)|/|x|$ должно получаться, что условие Липшица в нуле не выполнено.

Почему? Вы подсчитали производную?

Бабай в сообщении #1067894 писал(а):

Однако там встречается произведение $\frac{x^2}{x^2+\varepsilon}\frac{1}{\sqrt{|x|}}$, которое себя ведёт видимо по-разному при переходе $x \to \infty$ для разных $\varepsilon$, или нет?

Неединственность в какой точке вас интересует?

[Бабай]

да подсчитал, тут же исправил $x \to 0$, опечатка была…в нуле конечно.

[dsge]

Чему равна производная в нуле?

[Бабай]

вообще производная равна $\frac{2x\varepsilon}{(x^2+\varepsilon)^2}\sqrt{|x|}+\frac{x^2}{x^2+\varepsilon}\frac{1}{2\sqrt{|x|}}\text{sgn}(x)$

[dsge]

К чему она стремится при $x\to 0$?

[Бабай]

Вы хотите сказать, что предел существует?

[dsge]

да

[Бабай]

да теперь с утра отчётливо вижу, что предел есть нуль! :) Однако, что ж это получается…непрерывной зависимости решения от параметра нет? ведь для $\varepsilon=0$ единственности нет.

[ewert]

Бабай в сообщении #1067966 писал(а):

что ж это получается…непрерывной зависимости решения от параметра нет? ведь для $\varepsilon=0$ единственности нет.

А при чём тут неединственность решения в предельной точке?