Равномерное распределение многомерной с.в.

[Don-Don]

Пара случайных величин $(\xi;\eta)$ равномерна распределена на множестве $\left{(x,y):0\le x\le\frac{\pi}{2}, \frac{\pi-2x}{2\pi}\le y\le \cos x\right}$

Определить, являются ли случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимыми, вычислить их плотности распределения, а также вероятность $P\{\frac{\pi}{4}\le \xi \le \frac{\pi}{2}\}$



Я думаю, что стоит проверить формулу $f(x,y)=f_1(x)f_2(y)$ (критерий независимости)

$f_1(x)=\begin{cases}0,&x\notin[0;\frac{\pi}{2}],\\ \dfrac{2}{\pi},&x\in[0;\frac{\pi}{2}].\end{cases}$

$f_1(y)=\begin{cases}0,&x\notin[0;1],\\ 1,&x\in[0;1].\end{cases}$

Насчет $f_1(y)$ очень неуверен.

Пока что нет идей как строить функцию совместной плотности распределения. Можете подсказать?

[Brukvalub]

Don-Don в сообщении #1066928 писал(а):

$f_1(x)=\begin{cases}0,&x\notin[0;\frac{\pi}{2}],\\ \dfrac{2}{\pi},&x\in[0;\frac{\pi}{2}].\end{cases}$

$f_1(y)=\begin{cases}0,&x\notin[0;1],\\ 1,&x\in[0;1].\end{cases}$

Как вы это определили?

[Don-Don]

Brukvalub в сообщении #1066943 писал(а):

Don-Don в сообщении #1066928 писал(а):

$f_1(x)=\begin{cases}0,&x\notin[0;\frac{\pi}{2}],\\ \dfrac{2}{\pi},&x\in[0;\frac{\pi}{2}].\end{cases}$

$f_1(y)=\begin{cases}0,&x\notin[0;1],\\ 1,&x\in[0;1].\end{cases}$

Как вы это определили?

Ну это одномерные равномерные распределения каждой из величин. Видимо из того, что двумерная величина распределена равномерно не следует то, что одномерные маргинальные распределения равномерны.
Но тогда с чего тут можно начать?

[Brukvalub]

Например, написать плотность совместного распределения.

[Don-Don]

Brukvalub в сообщении #1066957 писал(а):

Например, написать плотность совместного распределения.

Спасибо!

$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}dx\int_{\frac{\pi-2x}{2\pi}}^{\cos x}dy=\dfrac{8-\pi}{8}$

Проверено вольфрамом http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... +to+pi%2F2

Тогда $f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{8}{8-\pi},&x \in D,\\ 0,&x\notin D.\end{cases}$

$D:0\le x\le\frac{\pi}{2}, \frac{\pi-2x}{2\pi}\le y\le \cos x\right}$

$f(x)= \dfrac{8}{8-\pi}\displaystyle\int_{\frac{\pi-2x}{2\pi}}^{\cos x}dy=\dfrac{8}{8-\pi}\left(\cos x-\frac{\pi-2x}{2\pi}\right)$

$f(y)=\dfrac{8}{8-\pi}\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}dx=\dfrac{4\pi}{8-\pi}$

Правильно?

-- 26.10.2015, 02:13 --

А как дальше?

-- 26.10.2015, 02:47 --

Походу формула $f(x,y)=f_1(x)f_2(y)$ не работает, потому случайные величины зависимы. Верно?

[Otta]

Don-Don
У Вас три буквы $f$ с разной смысловой нагрузкой. Исправьте.

Don-Don в сообщении #1066974 писал(а):

$f(x)= \dfrac{8}{8-\pi}\displaystyle\int_{\frac{\pi-2x}{2\pi}}^{\cos x}dy=\dfrac{8}{8-\pi}\left(\cos x-\frac{\pi-2x}{2\pi}\right)$

Верно, но не при всех $x$. Укажите, при каких. Укажите, что будет при остальных.

Don-Don в сообщении #1066974 писал(а):

$f(y)=\dfrac{8}{8-\pi}\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}dx=\dfrac{4\pi}{8-\pi}$

Неверно. По $x$ область такая же "кривая", как и по $y$, непонятно, почему для этого случая Вами сделано исключение.

Don-Don в сообщении #1066974 писал(а):

А как дальше?

А дальше, после того, как все будет верно, надо будет только проверить, выполнено ли $f(x,y)=f_1(x)f_2(y)$. И все. Надеюсь, вероятность Вы умеете искать.

[Don-Don]

Хорошо, спасибо!

$f_\xi(x)=I(D)\cdot \dfrac{8}{8-\pi}\left(\cos x-\frac{\pi-2x}{2\pi}\right)$, где $I(D)=\begin{cases} 1, \text{если $(x,y)\in D$;}\\ 0,\text{если $(x,y)\notin D$;}\\ \end{cases}$

$f_\eta(y)=\dfrac{8}{8-\pi}\displaystyle\int_{i(y)}^{\arccos y}dx$, где $i(y)=\begin{cases} \frac{\pi}{2}-\pi y, \text{если $y\le 0,5$;}\\ 0,\text{если $y\ge 0,5$;}\\ \end{cases}$

Правильно? А произведение частных плотностей не равно совместной плотности, значит зависимы, правильно?

Да, вероятность попадания смогу посчитать!

[Otta]

Индикатор области - функция двух переменных. В отличие от маргинальных плотностей.
Да, получится, что зависимы. Но досчитать и нормально записать - надо. Здесь - необязательно, естественно.

[Don-Don]

Otta в сообщении #1066999 писал(а):

Индикатор области - функция двух переменных. В отличие от маргинальных плотностей.
Да, получится, что зависимы. Но досчитать и нормально записать - надо. Здесь - необязательно, естественно.

Хорошо, спасибо, понятно!