Сходимость рядов) Помогите пожалуйста)

[Bellesimmo]

Здравствуйте!!!!! Я не могу разобраться со сходимостью рядов: Пусть дано, что ряд

$$\sum\limits_{n=1}^{00}a$$

сходится. Сходится ли ряд а в квадрате

$$\sum\limits_{n=1}^{00}a^2$$

и ряд

$$\sum\limits_{n=1}^{00}a^3$$

в кубе?

[Brukvalub]

Для квадратов контрпример тривиален - см. признак Лейбница. Для кубов тоже есть контрпример, но он чуть хитрее.

[Bellesimmo]

Спасибо за быстрый ответ! Вы имеете в виду признак Лейбцига о знакочередующийся рядов? То есть оба ряда не сходятся?

[Brukvalub]

Bellesimmo в сообщении #1066520 писал(а):

Вы имеете в виду признак Лейбцига о знакочередующийся рядов? То есть оба ряда не сходятся?

"Лейбциг" - это нечто среднее между ученым Лейбницем и немецким городом Лейпцигом?

[Bellesimmo]

Ага, нечто среднее Я конечно же имела в виду Лейбница)

[Brukvalub]

То есть, теперь вы считаете, что квадраты и кубы членов сходящегося ряда всегда образуют расходящиеся ряды?

[Bellesimmo]

Нет, конечно же) Я не знаю, поэтому и задала этот вопрос)

-- 25.10.2015, 13:59 --

Может попробовать рассмотреть последовательность частичных сумм? Или из этого ничего хорошего не получится?

[Brukvalub]

Нужно строить контрпримеры.

[Deggial]

Bellesimmo, \infty $\infty$.
Для непростых учебных задач следует приводить попытки решения.

[provincialka]

Кстати, приличнее все-таки было бы записывать члены ряда как $a_n$. А то выглядят, как константы!

Я бы посоветовала думать в таком направлении. Ряды сходятся либо потому, что их слагаемые о-о-чень маленькие. Либо потому, что они "сокращаются" друг с другом из-за разных знаков (но и в этом случае меленькие. Не очень)

Для квадратов. Что произойдет с рядом, если его члены возвести в квадрат? Будет ли для него по-прежнему выполняться одно из приведенных условий?

[Bellesimmo]

Спасибо за подсказку))) в таком случае можно легко составить контрпример, когда

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty } a_n$$

сходится к нулю (знакопеременный ряд) , а при возведении в квадрат расходится, т к все слагаемы положительные)
При возведении в куб я думаю, что ряд все равно будет сходится

[Brukvalub]

Bellesimmo в сообщении #1066582 писал(а):

При возведении в куб я думаю, что ряд все равно будет сходится

Думать - мало, нужно доказать! Но доказать не удастся.

[provincialka]

Bellesimmo в сообщении #1066582 писал(а):

При возведении в куб я думаю, что ряд все равно будет сходится

Нет. Может нарушиться баланс между "положительными" и "отрицательными" слагаемыми.

[Ms-dos4]

Bellesimmo
Подсказка - сначала найдите такую $\[f(n)\]$, действительная часть которой знакопеременна (я даже сильнее подскажу, образует последовательность знаков вида $\[... - - + - - + - ...\]$ - т.е. каждый третий другого знака), а после возведения в куб эта функция становится константой. Далее её можно умножить на что-то медленно убывающее (типа $\[\frac{1}{{\ln (n + 1)}}\]$) и вуаля.