Введение зависимости как механизм линеаризации

[Андрей1]

Можно ли представить вероятность суммы дискретных величин
P_n=\sum_{i1+i2=n}{P^{(1)}_{i1} P^{(2)}_{i2}}, i_1 \ge 0, i_2 \ge 0 как линейную сумму для некоторого известного и полезного объекта (вместо произведения объектов P^{(1)}_{i1} P^{(2)}_{i2} )? Можно ли представить P_n в матричном виде или в каком-нибудь другом алгебраическом виде?

Есть основания считать, что это возможно, если рассматривать зависимость i_1 и i_2.

Где могут изучаться такие задачи?

[PAV]

Суммы независимых случайных величин проще всего изучать с помощью механизма характеристических функций или каких-либо их аналогов (в частности, для величин, принимающих целые неотрицательные значения, удобны производящие функции). Они перемножаются, а соответственно их логарифмы - складываются.

[Андрей1]

Да, читаю "Вероятность на алгебраических структурах (Гренадер)" и там характеристические функции - основной аппарат. Вопрос, как представить задачу в алгебраических, групповых или терминах колец?..

Пока в голову приходит лишь то, что P(n) будут стоять на диагонали в матрице, которая получается как произведение матриц, одна из которых: последовательно выписанные значения P^{(1)}_n со сдвигом вправо, на матрицу: последовательно выписанные значения P^{(2)}_n после сдвига вправо (остальные строки сдвигаются последовательно вправо). Причем, в остальных элементах матрицы будут выражения вида P_i + P_j, где i и j только одновременно < и > чем n (если одновременно равны, то будет P_n).

[Андрей1]

\left ( \begin{array}{ccccc} P^{(1)}_0 & P^{(1)}_1 & P^{(1)}_2 & \ldots& P^{(1)}_n \\ P^{(1)}_n & P^{(1)}_0 & P^{(1)}_1 & \ldots & P^{(1)}_{n-1} \\ ... \end{array} \right ) \left ( \begin{array}{ccccc} P^{(2)}_n & P^{(2)}_0 & P^{(2)}_1 & \ldots& P^{(2)}_{n-1} \\ P^{(2)}_{n-1} & P^{(2)}_n & P^{(2)}_0 & \ldots & P^{(2)}_{n-2} \\ ... \end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{cccc} P_n & P_0+P_{n+1} & P_1+P_{n+2} & \ldots \\ P_{2n} + P_{n-1} & P_n & P_0+P_{n+1} & \ldots \\ P_{2n-1} + P_{n-2} & P_{2n} + P_{n-1} & P_n & \ldots \\ ... \end{array} \right )

[Андрей1]

Уточнение задачи.
Известны вероятности P{p>q}, P{p<q} и P{p+q<2}, где p=i+k, q=j+l.
Эти вероятности линейно выражаются через вероятности состояний {p,q} (суммы для нижнего-левого, верхнего-правого и левого-верхнего треугольников матрицы).
Вероятности {p,q}, можно представить через состояние {{i,j},{k,l}}: \{p,q\}=\sum_{i=0,p;j=0,q}{\{\{i,j\},\{p-i,q-j\}\}} (1).

Задача состоит в том, чтобы найти такое разложение, которое сохраняет связи (1) и при этом минимальным образом отклоняется от заданного тензора {\{\{i,j\},\{k,l\}\}}.

[Андрей1]

Уточнение задачи 2.

Есть n^4 переменных {\{\{i,j\},\{k,l\}\}}, i,j,k,l=(0,n-1) и n^2 связей \{p,q\}=\sum_{i=0,p;j=0,q}{\{\{i,j\},\{p-i,q-j\}\}} (1) (\{p,q\} заданы, p,q=(0,n-1)) и еще 1 cвязь 1=\sum_{i,j,k,l=0,p}{\{\{i,j\},\{k,l\}\}} (2).

Вопрос, как ввести n^4-n^2-1 _независимых_ новых переменных так, чтобы все {\{\{i,j\},\{k,l\}\}} через них выражались, а связи (1), (2) обращались в тождество.
Хотя вопрос чисто технический ....

[maxal]

Андрей1 писал(а):

Можно ли представить вероятность суммы дискретных величин
P_n=\sum_{i1+i2=n}{P^{(1)}_{i1} P^{(2)}_{i2}}, i_1 \ge 0, i_2 \ge 0 как линейную сумму для некоторого известного и полезного объекта (вместо произведения объектов P^{(1)}_{i1} P^{(2)}_{i2} )? Можно ли представить P_n в матричном виде или в каком-нибудь другом алгебраическом виде?

Рассмотрите производящие функции

$$F_1(x) = \sum_{i=0}^{\infty} P^{(1)}_i x^i$$

и

$$F_2(x) = \sum_{i=0}^{\infty} P^{(2)}_i x^i.$$

Тогда производящая функция для $P$ равна:

$$\sum_{n=0}^{\infty} P_n x^n = F_1(x)\cdot F_2(x),$$

то есть произведению производящих функций для $P^{(1)}$ и $P^{(2)}$.