2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Сходимость рядов) Помогите пожалуйста)
Сообщение25.10.2015, 13:11 
Здравствуйте!!!!! Я не могу разобраться со сходимостью рядов: Пусть дано, что ряд $$\sum\limits_{n=1}^{00}a$$ сходится. Сходится ли ряд а в квадрате $$\sum\limits_{n=1}^{00}a^2$$ и ряд $$\sum\limits_{n=1}^{00}a^3$$ в кубе?

 
 
 
 Re: Сходимость рядов) Помогите пожалуйста)
Сообщение25.10.2015, 13:21 
Аватара пользователя
Для квадратов контрпример тривиален - см. признак Лейбница. Для кубов тоже есть контрпример, но он чуть хитрее.

 
 
 
 Re: Сходимость рядов) Помогите пожалуйста)
Сообщение25.10.2015, 13:30 
Спасибо за быстрый ответ! Вы имеете в виду признак Лейбцига о знакочередующийся рядов? То есть оба ряда не сходятся?

 
 
 
 Re: Сходимость рядов) Помогите пожалуйста)
Сообщение25.10.2015, 13:33 
Аватара пользователя
Bellesimmo в сообщении #1066520 писал(а):
Вы имеете в виду признак Лейбцига о знакочередующийся рядов? То есть оба ряда не сходятся?
"Лейбциг" - это нечто среднее между ученым Лейбницем и немецким городом Лейпцигом? :shock:

 
 
 
 Re: Сходимость рядов) Помогите пожалуйста)
Сообщение25.10.2015, 13:46 
Ага, нечто среднее :facepalm: Я конечно же имела в виду Лейбница)

 
 
 
 Re: Сходимость рядов) Помогите пожалуйста)
Сообщение25.10.2015, 13:50 
Аватара пользователя
То есть, теперь вы считаете, что квадраты и кубы членов сходящегося ряда всегда образуют расходящиеся ряды? :shock:

 
 
 
 Re: Сходимость рядов) Помогите пожалуйста)
Сообщение25.10.2015, 13:51 
Нет, конечно же) Я не знаю, поэтому и задала этот вопрос)

-- 25.10.2015, 13:59 --

Может попробовать рассмотреть последовательность частичных сумм? Или из этого ничего хорошего не получится?

 
 
 
 Re: Сходимость рядов) Помогите пожалуйста)
Сообщение25.10.2015, 14:31 
Аватара пользователя
Нужно строить контрпримеры.

 
 
 
 Re: Сходимость рядов) Помогите пожалуйста)
Сообщение25.10.2015, 15:26 
Аватара пользователя
 i  Bellesimmo, \infty $\infty$.
Для непростых учебных задач следует приводить попытки решения.

 
 
 
 Re: Сходимость рядов) Помогите пожалуйста)
Сообщение25.10.2015, 15:34 
Аватара пользователя
Кстати, приличнее все-таки было бы записывать члены ряда как $a_n$. А то выглядят, как константы!

Я бы посоветовала думать в таком направлении. Ряды сходятся либо потому, что их слагаемые о-о-чень маленькие. Либо потому, что они "сокращаются" друг с другом из-за разных знаков (но и в этом случае меленькие. Не очень)

Для квадратов. Что произойдет с рядом, если его члены возвести в квадрат? Будет ли для него по-прежнему выполняться одно из приведенных условий?

 
 
 
 Re: Сходимость рядов) Помогите пожалуйста)
Сообщение25.10.2015, 15:45 
Спасибо за подсказку))) в таком случае можно легко составить контрпример, когда $$\sum\limits_{n=1}^{\infty } a_n$$ сходится к нулю (знакопеременный ряд) , а при возведении в квадрат расходится, т к все слагаемы положительные)
При возведении в куб я думаю, что ряд все равно будет сходится

 
 
 
 Re: Сходимость рядов) Помогите пожалуйста)
Сообщение25.10.2015, 15:59 
Аватара пользователя
Bellesimmo в сообщении #1066582 писал(а):
При возведении в куб я думаю, что ряд все равно будет сходится

Думать - мало, нужно доказать! Но доказать не удастся. :lol:

 
 
 
 Re: Сходимость рядов) Помогите пожалуйста)
Сообщение25.10.2015, 16:10 
Аватара пользователя
Bellesimmo в сообщении #1066582 писал(а):
При возведении в куб я думаю, что ряд все равно будет сходится

Нет. Может нарушиться баланс между "положительными" и "отрицательными" слагаемыми.

 
 
 
 Re: Сходимость рядов) Помогите пожалуйста)
Сообщение25.10.2015, 16:16 
Bellesimmo
Подсказка - сначала найдите такую $\[f(n)\]$, действительная часть которой знакопеременна (я даже сильнее подскажу, образует последовательность знаков вида $\[... -  -  +  -  -  +  - ...\]$ - т.е. каждый третий другого знака), а после возведения в куб эта функция становится константой. Далее её можно умножить на что-то медленно убывающее (типа $\[\frac{1}{{\ln (n + 1)}}\]$) и вуаля.

 
 
 [ Сообщений: 14 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group