Несколько асимптотик

[uu12uu]

Мне нужно посчитать асимптотики для двух выражений $ 2 n \choose [\frac{n}{3}]$, $\frac{(8 n + k)!}{(2 n)!(5 n )! n! k!}$, $k \in N, n \to \infty$.

Мое решение:

1) $n = 3 k$,

$${2 n \choose[\frac{n}{3}]} = {6 k \choose k} \sim \sqrt{12 \pi k} (\frac{6 k}{e})^{6k} / (\sqrt{2 \pi k} (\frac{k}{e})^k \sqrt{10 \pi k} (\frac{5k}{e})^{5 k}) \sim \sqrt{\frac{12}{5 \pi n}} (\frac{6^2}{5^{5/3}})^n$$

$n = 3 k + 1$,

$${2 n \choose[\frac{n}{3}]} = {6 k + 2 \choose k} = \frac{(6k + 1)(6 k + 2)}{(5 k + 1) (5 k + 2)} {6 k \choose k} \sim \sqrt{\frac{12}{5 \pi (n - 1)}} (\frac{6^2}{5^{5/3}})^n \frac{1}{5^{1/3}} \sim \sqrt{\frac{12}{5 \pi n}} (\frac{6^2}{5^{5/3}})^n \frac{1}{5^{1/3}}$$

$n = 3 k + 2$,

$${2 n \choose[\frac{n}{3}]} = {6 k + 4 \choose k} = \frac{(6k + 3)(6 k + 4)}{(5 k + 3) (5 k + 4)} {6 k + 2 \choose k} \sim \sqrt{\frac{12}{5 \pi (n - 2)}} (\frac{6^2}{5^{5/3}})^n \frac{1}{5^{2/3}} \sim \sqrt{\frac{12}{5 \pi n}} (\frac{6^2}{5^{5/3}})^n \frac{1}{5^{2/3}}$$

2)

$$\frac{(8 n + k)!}{(2 n)!(5 n )! n! k!} \sim \sqrt{\frac{2 \pi (8 n + k)}{160 n^3 \pi^4 k}} (\frac{8 n + k}{e})^{8 n + k}/( (\frac{2 n}{e})^{2 n} (\frac{5 n}{e})^{5 n} (\frac{n}{e})^n (\frac{1}{k!}))$$$$ \sim \sqrt{\frac{8 n + k}{80 n^3 \pi^3 k}} \frac{1}{k! e^k} \frac{8^{8 n + k}}{2^{2 n} 5^{5 n}} \frac{(n + k/8)^{8 n + k}}{n^{8 n}} \sim \sqrt{\frac{8 n + k}{80 n^3 \pi^3 k}} \frac{1}{k! e^k} \frac{8^{8 n + k}}{2^{2 n} 5^{5 n}}(n + k/8)^k \frac{(n + k/8)^{8 n}}{n^{8 n}}$$$$ \sim \sqrt{\frac{1}{10 n^3 \pi^3 k}} \frac{1}{k!} \frac{8^{8 n + k}}{2^{2 n} 5^{5 n}}(n + k/8)^{k + 1/2} \sim \sqrt{\frac{1}{10 \pi^3}} (\frac{1}{k!}) \frac{8^{8 n + k}}{2^{2 n} 5^{5 n}}\frac{(n + k/8)^{k + 1/2}}{(n^3 k)^{1/2}}$$

Оно корректно, не допустил ли я глупой ошибки?

Можно ли как-то проще подходить к нахождению второй асимтотики?

Нетрудно видеть, я пользовался почти только формулой Стирлинга.

Заранее спасибо за любую помощь!

[uu12uu]

Вообще, решение второго пункта через формулу Стирлинга было разумным или есть боле хорошие методы?

[Sonic86]

uu12uu в сообщении #1065565 писал(а):

Вообще, решение второго пункта через формулу Стирлинга было разумным или есть боле хорошие методы?

Если $k=\operatorname{const}$, то просто $(n+k)!\sim n!n^k$, Стирлинг там нужен, только если $k$ может зависеть от $n$.

uu12uu в сообщении #1065550 писал(а):

Мое решение:

1) $n = 3 k$...
$n = 3 k + 1$, ...
$n = 3 k + 2$, ...

Вы в разборе случае в конце делаете одинаковую операцию. Число буков можно существенно уменьшить, если случай $n=3k$ разобрать до конца, а потом его юзать для $n=3k\pm 1$.
И коэффициенты перепроверьте, мне кажется, что там вычислительные ошибки.

[uu12uu]

Sonic86
Давайте попробую посчитать $\frac{(8 n + k)!}{(2 n)!(5 n )! n! k!}$ еще раз.

$$\frac{(8 n + k)!}{(2 n)!(5 n )! n! k!} \sim \frac{(8 n)! (8 n)^k}{(2 n)!(5 n)! n! k!} \sim \sqrt{\frac{16 \pi n}{80 n^3 \pi^3}} \frac{(8n)^k}{k!} (\frac{8 n} {e})^{8 n} (\frac{e}{2 n})^{2 n} (\frac{e}{5 n})^{5 n} (\frac{e}{n})^n \sim \sqrt{\frac{1}{5 \pi^2 n^2}} \frac{(8 n)^k}{k!} (\frac{8^8}{2^2 5^5})^n$$

.

Теперь правильно?

[Sonic86]

uu12uu в сообщении #1065606 писал(а):

Теперь правильно?

Ага. Можно еще $n^2$ вытащить из-под корня.
(я в своем ответе зевнул коэффициент - подправил)