Помогите разобраться в доказательстве теоремы

[provincialka]

Cynic в сообщении #1065051 писал(а):

Я уже дважды перечитал §11 не могу понять какое свойство он имеет ввиду.

А каково определение точной верхней грани? (могут быть разные варианты).
Например: точная верхняя грань -- это минимальная верхняя грань (мажоранта) множества. Что это значит? Что $M^*$ -- мажоранта, все $x$ не превосходят $M^*$. А вот любое меньшее число, т.е. $M^*-\varepsilon$ -- не мажоранта.

тут я прерву дозволенные речи. Напишите сами, что это означает: $M^*-\varepsilon$ -- не мажоранта?

-- 21.10.2015, 15:27 --

Cynic в сообщении #1065051 писал(а):

но в этом случае

Вы опять ограничились монотонной последовательность. А вы возьмите немонотонную (про которую раньше говорили)

[Cynic]

provincialka в сообщении #1065056 писал(а):

А каково определение точной верхней грани? (могут быть разные варианты).
Например: точная верхняя грань -- это минимальная верхняя грань (мажоранта) множества. Что это значит? Что $M^*$ -- мажоранта, все $x$ не превосходят $M^*$. А вот любое меньшее число, т.е. $M^*-\varepsilon$ -- не мажоранта.

тут я прерву дозволенные речи. Напишите сами, что это означает: $M^*-\varepsilon$ -- не мажоранта?

Не понял, к чему вы ведете. Можете перефразировать?

provincialka в сообщении #1065056 писал(а):

Вы опять ограничились монотонной последовательность. А вы возьмите немонотонную (про которую раньше говорили)

Я рассматривал не монотонную варианту, и в этом случае действительно отдельные значения $x_n$ будут больше $M^*-\varepsilon$. Но ни что мне не запрещает рассматривать и просто монотонно убывающую последовательность. В этом случае все значения $x_n$ будут больше чем $M^*-\varepsilon$. То есть как бы вопрос больше в том, правильно ли я вообще понял, что к формулировке "отдельные значения" в данном случае нужно относиться так: в зависимости от варианты могут как все так и некоторые значения $x_n$ быть больше чем $M^*-\varepsilon$.

[provincialka]

Cynic в сообщении #1065074 писал(а):

к формулировке "отдельные значения" в данном случае нужно относиться так: в зависимости от варианты могут как все так и некоторые значения $x_n$ быть больше чем $M^*-\varepsilon$.

Разумеется, так! Главное, чтобы такие значения существовали. Пусть даже все будут "такими"...
Слово "некоторые" в математике никак не противоречит слову "все"

(Оффтоп)

Эх! Жалко, теперь подписи не отображаются

Cynic в сообщении #1065074 писал(а):

Не понял, к чему вы ведете. Можете перефразировать?

Ну.. я, честно говоря, не помню, какую терминологию использует Ф. Возможные варианты:

верхняя грань + точная верхняя грань (=супремум)
мажоранта + верхняя грань (=супремум)

Я привыкла больше к первой.
В этом смысле я спросила следующее: Что означает утверждение "$M^*-\varepsilon$ -- не верхняя грань множества значений $\{x_i\}$"? Что означают слова, что это число -- не является верхней границей для множества?

[Cynic]

provincialka в сообщении #1065080 писал(а):

Ну.. я, честно говоря, не помню, какую терминологию использует Ф. Возможные варианты:

верхняя грань + точная верхняя грань (=супремум)
мажоранта + верхняя грань (=супремум)

Я привыкла больше к первой.
В этом смысле я спросила следующее: Что означает утверждение "$M^*-\varepsilon$ -- не верхняя грань множества значений $\{x_i\}$"? Что означают слова, что это число -- не является верхней границей для множества?

Ну это значит, что среди значений множества найдется такое которое больше "не верхней грани". Только все равно не понимаю, к чему этот вопрос?
Единственное, что я понял на счёт значений $x'_n$, так это:
1) Если варианта монотонно убывает и имеет конечный предел, то $M_k\geqslant x'_n > M^*$
2) Если монотонно возрастает и имеет конечный передел, то $x'_n<M_k=M^*$
3) Если варианта НЕ монотонная, то для некоторых значений $x'_n>M^*$, а для других $x'_n<M^*$
Из всего этого я в принципе могу сделать вывод, что можно подобрать такое $\varepsilon$, что $x'_n>M^*-\varepsilon$

[provincialka]

Опять вы про эту монотонность... Зачем?
Вы что вообще-то доказать хотите? Выделите "задачу" именно этого куска. И вообще, неплохо бы иметь краткий план доказательства, а то оно очень длинное!

-- 21.10.2015, 16:51 --

Там звездочки в разных местах... я не обратила внимания... А вы пишете их как-то "посередине". Надо $M^*$ и $M_*$
Но не $M*$

[Cynic]

provincialka в сообщении #1065115 писал(а):

Опять вы про эту монотонность... Зачем?
Вы что вообще-то доказать хотите? Выделите "задачу" именно этого куска. И вообще, неплохо бы иметь краткий план доказательства, а то оно очень длинное!

-- 21.10.2015, 16:51 --

Там звездочки в разных местах... я не обратила внимания... А вы пишете их как-то "посередине". Надо $M^*$ и $M_*$
Но не $M*$

Давайте пока на остальное забьем, объясните лучше чем Вам так не нравиться, что я рассматриваю все случаи отдельно?

[provincialka]

А зачем? Зачем три раза повторять одно и то же?
Тем более, что в монотонная последовательность имеет предел, и чего тогда долго рассуждать о "верхних" и "нижних" пределах? Этот тривиальные (довольно таки) случаи!

[Cynic]

provincialka в сообщении #1065119 писал(а):

А зачем? Зачем три раза повторять одно и то же?
Тем более, что в монотонная последовательность имеет предел, и чего тогда долго рассуждать о "верхних" и "нижних" пределах? Этот тривиальные (довольно таки) случаи!

Ну как зачем, чтобы убедиться, что утверждения справедливы во всех случаях. Я конечно верю, что за все 3 тома Фихтенгольц не ошибся ни разу, но так можно просто принять всё на веру и читать его как художественный роман.

[provincialka]

Да нет, дело не в ошибках. Просто случаи монотонных последовательностей входя в общий. Если разберете его, зачем еще в частных случаях всё проверять? Это лишнее!

Вы бы лучше составили план доказательства, краткий. А не цеплялись к отдельным предложениям.

[Cynic]

provincialka в сообщении #1065158 писал(а):

Да нет, дело не в ошибках. Просто случаи монотонных последовательностей входя в общий. Если разберете его, зачем еще в частных случаях всё проверять? Это лишнее!

Вы бы лучше составили план доказательства, краткий. А не цеплялись к отдельным предложениям.

Спасибо, так и сделаю, но завтра. Уже видеть это доказательство не могу

[tolstopuz]

Cynic в сообщении #1065135 писал(а):

Ну как зачем, чтобы убедиться, что утверждения справедливы во всех случаях.

Предлагаю добавить дополнительные случаи:

- варианта монотонно убывает до тысячного элемента, далее ведет себя ветрено и непостоянно;
- варианта принимает исключительно значения из канторова множества (или наоборот, старательно обходит их);
- варианта занесена в OEIS.

Вдруг в каком-то из перечисленных случаев утверждение несправедливо?

Кстати, если заменить слово "варианта" на слово "последовательность", Фихтенгольц выглядит не таким уж устаревшим и тяжеловесным, но трехстраничное доказательство действительно стоило бы разбить на части.

[ewert]

tolstopuz в сообщении #1065173 писал(а):

трехстраничное доказательство действительно стоило бы разбить на части

Я в последний раз разбил его на три теоремы (назвав теоремами только две последних):

1. Верхний и нижний пределы (конечные или бесконечные) всегда существуют.

2. Верхний и нижний пределы -- это частичные пределы, причём верхний предел представляет собой
наибольший из частичных пределов, нижний -- наименьший.

3. Последовательность имеет предел (конечный или бесконечный) тогда и только тогда, когда верхний предел равен нижнему.

С промежуточным утверждением (между первым и вторым): верхний предел равен минус бесконечности тогда и только тогда, когда просто предел равен минус бесконечности; аналогично для нижнего.

Всего вышло странички полторы-две, и самым тяжеловесным оказалось второе доказательство (оно заняло почти двадцать строчек). Естественно, определялись верхний и нижний пределы не как у Фихтенгольца (или Бугрова-Никольского, скажем), а как просто пределы супремумов и инфимумов. Так полезнее для дальнейшего; например, для рядов.