Разложение решения матричного дифура

[alleut]

Здравствуйте!

Дано:
$A, Y, X, Z, B$ - матрицы $2\times 2$
$Y' = A(t)Y, Y(0)=Y_0$
$A(t)=\alpha A_1(t)+ \beta A_2(t)$
Дальше время опускаю.
Представим решение в виде произведения $Y=XZ$, где $X $- решение $X'=BX$, $B=\alpha A_1$.

Подставим в исходное уравнение:
$(XZ)' = A \cdot XZ$
$X'Z + XZ' = A\cdot XZ$
$BXZ + XZ' = AXZ$
$XZ' = AXZ - BXZ$
$Z' = X^{-1}(AX-BX)Z$

В итоге у меня уравнение для $Z'$:
$Z' = (X^{-1}AX - X^{-1}BX)Z$,
а в статье, где это выводится, результат
$Z' = (X^{-1}AX - B)Z$.

В чём я ошибся?

[Red_Herring]

А нет ли у Вас начального условия для $X'=BX$? У Вас правильно, а в статье используется допущение что $BX=XB$

[alleut]

Начальное условие есть: $X(0)=I$
В частном случае, который рассматривается, $B=\alpha(t) A = \alpha(t) \cdot \operatorname{diag}(1,-1)$, поэтому решение для $X$ будет экспоненциалом с экспонентами на диагонали.
В итоге в $X^{-1}BX$ будет произведение трёх диагональных матриц, в котором экспоненты красиво дадут 1, оставив только $B$.

Спасибо за помощь!

[Red_Herring]

Никакого частного случая: $X=e^{Bt}$ коммутирует с $B$