2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Разложение решения матричного дифура
Сообщение21.10.2015, 19:20 
Аватара пользователя


05/01/09
233
Здравствуйте!

Дано:
$A, Y, X, Z, B$ - матрицы $2\times 2$
$Y' = A(t)Y, Y(0)=Y_0$
$A(t)=\alpha A_1(t)+ \beta A_2(t)$
Дальше время опускаю.
Представим решение в виде произведения $Y=XZ$, где $X $- решение $X'=BX$, $B=\alpha A_1$.

Подставим в исходное уравнение:
$(XZ)' = A \cdot XZ$
$X'Z + XZ' = A\cdot XZ$
$BXZ + XZ' = AXZ$
$XZ' = AXZ - BXZ$
$Z' = X^{-1}(AX-BX)Z$

В итоге у меня уравнение для $Z'$:
$Z' = (X^{-1}AX - X^{-1}BX)Z$,
а в статье, где это выводится, результат
$Z' = (X^{-1}AX - B)Z$.

В чём я ошибся?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение решения матричного дифура
Сообщение21.10.2015, 23:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
А нет ли у Вас начального условия для $X'=BX$? У Вас правильно, а в статье используется допущение что $BX=XB$

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение решения матричного дифура
Сообщение22.10.2015, 00:41 
Аватара пользователя


05/01/09
233
Начальное условие есть: $X(0)=I$
В частном случае, который рассматривается, $B=\alpha(t) A = \alpha(t) \cdot \operatorname{diag}(1,-1)$, поэтому решение для $X$ будет экспоненциалом с экспонентами на диагонали.
В итоге в $X^{-1}BX$ будет произведение трёх диагональных матриц, в котором экспоненты красиво дадут 1, оставив только $B$.

Спасибо за помощь!

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение решения матричного дифура
Сообщение22.10.2015, 02:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Никакого частного случая: $X=e^{Bt}$ коммутирует с $B$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group