Многочлен как сумма квадратов

[TR63]

По-моему, Sender, Rak so dna подразумевали $P_4(x;y)$ (если, конечно, ходили по ссылке). Отсюда и возник вопрос: как такое возможно. Ведь есть теорема Гильберта по этому вопросу.

[spctr]

Общий способ разложения на сумму квадратов -- сведение к задаче полуопределённого программирования. Гуглите Sum-of-Squares optimization.

[TR63]

Заметила опечатку в своём сообщении. Исправляю:
$x^4-x^2y-xy^2+y^4+1=(x^2-\frac{y+1}{2})^2+(x-\frac{y^2}{2})^2+\frac1 4(2y^4+1+(y^2-1)^2+(y-1)^2)$

-- 20.10.2015, 20:09 --

$y^4-\frac1 3y^2-\frac2 3y+1=(y^2-\frac1 2)^2+\frac2 3(y-\frac1 2)^2+\frac{7}{12}$
Этот многочлен можно представить суммой двух квадратов с помощью метода неопределённых коэффициентов. Но это длинно. Т.е. представление суммой четырёх квадратов многочлена Sender
$P_4(x;y)$ реально школьная задача. Гильберт утверждает, что это можно сделать тремя квадратами. Я пока пас.

[TR63]

spctr,
спасибо.

[TR63]

TR63 в сообщении #1064766 писал(а):

$y^4-\frac1 3y^2-\frac2 3y+1=(y^2-\frac1 2)^2+\frac2 3(y-\frac1 2)^2+\frac{7}{12}$
Этот многочлен можно представить суммой двух квадратов с помощью метода неопределённых коэффициентов. Но это длинно

Требуется проверка этого утверждения. У меня система свелась к уравнению третьей степени от одной переменной с одним действительным корнем. Но я упустила тот момент, что полученный корень не входит в область определения. А это значит, что указанный многочлен невозможно представить суммой двух квадратов, где коэффициенты не содержат мнимых единиц в подкоренных выражениях.