Помогите разобраться в доказательстве теоремы

[Cynic]

Читаю 1-й том Фихтенгольца по Мат. анализу и ни как не могу разобраться с доказательством теоремы о "Наибольшем и наименьшем пределе" (Глава 4, пункт 42). Поскольку книга в DJVU текст доказательства привожу в виде картинок, уж извините.
Стр1:https://yadi.sk/d/KnYIlH16jjLtL/2.png
Стр2:https://yadi.sk/d/KnYIlH16jjLtL/3.png
Стр3:https://yadi.sk/d/KnYIlH16jjLtL/4.png
Стр4:https://yadi.sk/d/KnYIlH16jjLtL/5.png
Места где возникли вопросы отмечаю на картинках в формате {цифра+?} красного цвета.

Начинаем с места где мы предположили, что варианта ${x_n}$ ограничена сверху, т.е. ${x_n} \leqslant M$. В этом случае возможны три варианта: 1] Варианта ${x_n}$ возрастает; 2] Убывает; 3] Является числом (этот случай можно не рассматривать).

1) Первое в чём я засомневался, так это откуда взялось неравенство ${M_k} = \mathop {\sup}\limits_{n > k} \left\{ {{x_n}} \right\} = \sup \left\{ {{x_{k + 1}},{x_{k + 2}},{\text{ }}...} \right\} \leqslant M$? Мои предположения следующие: если варианта убывает, то с ростом k ${M_k}$ убывает; если варианта возрастает, то с ростом k ${M_k}$ также возрастает, но больше M всё равно не будет. Отсюда и получается, что ${M_k} \leqslant M$.
2) Далее автор пишет, что пределом такой варианты будет ${M_k}$. Я так понял, что это связано с тем, что если варианта убывает, то её пределом может быть только $ - \infty$, а если она возрастает, то она по любому упрется в ${M_k} = \sup \left\{ {{x_n}} \right\}$, который и будет являться её пределом.
3) Здесь как я понимаю, автор просто утверждает, что каково бы ни было мало ${M_N}$ всегда найдется ещё меньшее число, что и доказывает что пределом варианты в этом случае является $ - \infty$.
4) С этого момента я вообще ни чего не понимаю. Например, что такое $M_N'$ в данном случае? Автор всю дорогу обозначал через M точную верхнюю границу варианты, но если это так, то почему тогда ${M_{N'}} < {M^*} + \varepsilon$? Ведь например если варианта ограничена сверху, возрастает, а M* является её наибольшим пределом, то понятно, что ${x_n} < M*$ и уж тем более ${x_n} < M*+ \varepsilon$ зачем было огород городить.

В общем чего то я видимо не понимаю, помогите плз.

[provincialka]

Cynic в сообщении #1064709 писал(а):

В этом случае возможны три варианта: 1] Варианта ${x_n}$ возрастает; 2] Убывает; 3] Является числом (этот случай можно не рассматривать).

Не хочется смотреть картинки... Это у Фихтенгольца такие случаи выделены? Или ваше творчество? (первое весьма сомнительно!)

[Aritaborian]

Cynic в сообщении #1064709 писал(а):

текст доказательства привожу в виде картинок, уж извините.

С помощью тега [img] вы можете вставить картинки непосредственно в сообщение. См. инструкции здесь.

[Cynic]

Aritaborian в сообщении #1064715 писал(а):

Cynic в сообщении #1064709 писал(а):

текст доказательства привожу в виде картинок, уж извините.

С помощью тега [img] вы можете вставить картинки непосредственно в сообщение. См. инструкции здесь.

Пробовал, с Яндекс диска не вставляет. Пишет не могу определить размер.

-- 20.10.2015, 17:01 --

provincialka в сообщении #1064713 писал(а):

Cynic в сообщении #1064709 писал(а):

В этом случае возможны три варианта: 1] Варианта ${x_n}$ возрастает; 2] Убывает; 3] Является числом (этот случай можно не рассматривать).

Не хочется смотреть картинки... Это у Фихтенгольца такие случаи выделены? Или ваше творчество? (первое весьма сомнительно!)

Я бы вам привел текст доказательства, но его набирать пол дня.
Творчество моё. А чё не так то? Не может быть варианты, которая с одной стороны ограничена сверху, а с другой возрастает что-ли? Например, $1 - \frac{1}{n}$ С чего бы то, я должен ограничиться только убывающей вариантой?

[Xaositect]

Cynic в сообщении #1064724 писал(а):

Творчество моё. А чё не так то? Не может быть варианты, которая с одной стороны ограничена сверху, а с другой возрастает что-ли? Например, $1 - \frac{1}{n}$ С чего бы то, я должен ограничиться только убывающей вариантой?

У Вас не рассматривается самый интересный вариант - когда последовательность не является монотонной, например, $1 + (-1)^n \frac{1}{n}$.

[Aritaborian]

Cynic в сообщении #1064724 писал(а):

Пробовал, с Яндекс диска не вставляет.

Прочтите инструкции внимательнее. Используйте специализированный сервис: фотохостинг.

[Cynic]

Aritaborian в сообщении #1064728 писал(а):

Cynic в сообщении #1064724 писал(а):

Пробовал, с Яндекс диска не вставляет.

Прочтите инструкции внимательнее. Используйте специализированный сервис: фотохостинг.

Вот докопался

Toucan:

См. post1064812.html#p1064812

[provincialka]

Cynic в сообщении #1064709 писал(а):

Первое в чём я засомневался, так это откуда взялось неравенство ${M_k} = \mathop {\sup}\limits_{n > k} \left\{ {{x_n}} \right\} = \sup \left\{ {{x_{k + 1}},{x_{k + 2}},{\text{ }}...} \right\} \leqslant M$?

Число $M$ есть верхняя граница для всего множества элементов последовательности. Все они не превосходят $M$. Значит, оно является верхней границей и для подмножества $\{x_n\}, n>k$. Ну, а супремум (точная верхняя грань), естественно , не превосходит любую верхнюю грань множества.

(Если попроще: точная грань части не превосходит точной грани целого. Поэтому "уменьшая" множество $\{x_n\}, n>k$ (с ростом $k$) мы "уменьшаем" и его супремум)

-- 20.10.2015, 17:17 --

Cynic в сообщении #1064709 писал(а):

Далее автор пишет, что пределом такой варианты будет ${M_k}$.

Автор ничего подобного не пишет!

-- 20.10.2015, 17:20 --

Cynic в сообщении #1064709 писал(а):

Здесь как я понимаю, автор просто утверждает, что каково бы ни было мало ${M_N}$ всегда найдется ещё меньшее число,

Слово "мало" для бесконечно большого (хотя и отрицательного) числа -- не очень удачное... Ну, пусть...
Он не утверждает, что "найдется", он утверждает, что все элементы последовательности, начиная с некоторого, будут меньше $-E$.

-- 20.10.2015, 17:22 --

Думаю, четвертый пункт разбирать пока рано, тем более, что "ничего не понимаю" -- довольно, хм... широкий вопрос для ответа
Может, разобравшись в предыдущих пунктах, ТС начнет понимать и продолжение доказательства.

[Cynic]

Xaositect в сообщении #1064727 писал(а):

Cynic в сообщении #1064724 писал(а):

Творчество моё. А чё не так то? Не может быть варианты, которая с одной стороны ограничена сверху, а с другой возрастает что-ли? Например, $1 - \frac{1}{n}$ С чего бы то, я должен ограничиться только убывающей вариантой?

У Вас не рассматривается самый интересный вариант - когда последовательность не является монотонной, например, $1 + (-1)^n \frac{1}{n}$.

Да чё та забыл я об этом.
Ну кстати после вашего замечания, я вот что заметил. В тексте Теоремы автор не уточняет о какой именно варианте идет речь, т.е. она может быть НЕ монотонной. Но далее он пишет: "При возрастании $k$ значение $M_k$ может разве лишь уменьшаться, следовательно, по теореме о монотонной варианте, во всяком случае существует предел (при возрастании $k$ до бесконечности) конечный или равный $- \infty$". При этом автор выделяет частичную последовательность просто беря часть $x_n$ при $n>k$. Теперь если мы например возьмём часть варианты которую вы предложили $1 - {( - 1)^n}\frac{1}{n}$ при $n>k$, то эта часть по прежнему будет НЕ монотонной. Тогда вопрос, почему он применяет в этом случае теорему о монотонной варианте?

[provincialka]

Cynic в сообщении #1064748 писал(а):

При этом автор выделяет частичную последовательность просто беря часть $x_n$ при $n>k$.

Выделять-то он выделяет, но монотонной является не она! А последовательность супремумов...

Cynic в сообщении #1064748 писал(а):

Теперь если мы например возьмём часть варианты которую вы предложили $1 - {( - 1)^n}\frac{1}{n}$

А вот запишите-ка, как будет выглядеть последовательность $M_k$ для этой варианты!

Предварительно можно выписать первые несколько элементов самой последовательности $x_n$.

(Я выше много вам написала... почитайте )

[Cynic]

provincialka в сообщении #1064749 писал(а):

Выделять-то он выделяет, но монотонной является не она! А последовательность супремумов...

Чё то слона я и не заметил. Согласен, $M_k$ может только убывать => она монотонна.

[Toucan]

Cynic в сообщении #1064733 писал(а):

Вот докопался

Cynic, предупреждение за хамство.

[ewert]

Cynic в сообщении #1064733 писал(а):

...

(не важно что)

Я лишь на п.1? обращу внимание: тут Фихтенгольц всего лишь тупо вводит определение для $M_k$. И далее, скорее всего -- аналогично.

Так вот, вопрос в студию: хоть стиль Фихтенгольца и немножко тяжеловесен (по нонешним временам) -- почему бы не попытаться его всё же попросту прочитать?...

[provincialka]

ewert в сообщении #1064841 писал(а):

почему бы не попытаться его всё же попросту прочитать?

Ну... все-таки математические доказательства, особенно "очевидных" вещей, с непривычки разбирать трудно... Много всяких экивоков...

Я бы дала такой совет: сопровождать (для себя) строгое доказательство образным пониманием утверждения. Но только сопровождать, а не подменять, конечно...

Например, если последовательность ("варианта" Фихтенгольца) имеет предел, то с ростом $n$ точки все больше "сгущаются" вокруг него. И если выкидывать первые элементы последовательности, то оставшиеся будут расположены все теснее и теснее к предельной точке.

Если же предела нет, то таких точек сгущения будет несколько. И опять же "облако данных" будет сгущаться вокруг этих точек, если отбрасывать первые элементы последовательности. Вот этим и занимается Фихтенгольц )))

[Cynic]

Общий ход доказательства я понял, теперь напрягает два момента:
1) Автор пишет (стр.2 в центре): "Но тогда по свойству верхней границы [11], среди значений $x_n$ с номерами $n=k+1, k+2, k+3$, ... найдется такое значение $x_n'$, что и $x'_n > M* - \varepsilon$ ". Я уже дважды перечитал §11 не могу понять какое свойство он имеет ввиду.
2) Но ещё больше напрягает тот факт, что для $x'_n > M* - \varepsilon$ он пишет: "Во втором же случае неравенству удовлетворяют лишь некоторые отдельные значения $x_n$". Меня смущает именно слово "некоторые". Например, если рассматривать график $\frac{1}{n}$, то график $M_k$ будет его повторять с некоторого значения $n>k$. Поскольку $k$ ни как не ограничено, то $\mathop {\lim }\limits_{} \frac{1}{n} = \mathop {\lim }\limits_{} {M_k} = {M^*}$, но в этом случае все значения $x'_n > M* - \varepsilon$, а не некоторые?