Геометрическая задача

[ihq.pl]

Условие: даны плоскость, называемая экраном, и, на некотором расстоянии от нее, точечный источник света $F$. На плоскости экрана задана ортогональная система координат $O_1\eta\zeta$. Между экраном и источником имеется другая ортогональная система координат $Oxyz$, про которую известно только то, что ее начало $O$ лежит между экраном и источником, и что точка $O_1$ является ортогональной проекцией точки $O$ на экран. Известно также, что источник $F$ лежит в плоскости $Oxy$. Пусть имеется вспомогательная точка $P$, тень от которой можно наблюдать в системе $O_1\eta\zeta$. Начальное положение точки $P$ неизвестно, но точку, с некоторым ограничением, можно переводить из одного положения в другое, последовательно смещая ее вдоль осей $x,y$ и $z$ на известные величины $\Delta x, \Delta y$ и $\Delta z$. Точку $P$ можно также вращать на любой заданный угол вокруг оси $Oz$. Ограничение выражено условием $z_P>0$, т.е. траектория точка $P$ не может пересекать плоскость $Oxy$.
Вопрос: можно ли по измерениям положения тени точки $P$ на экране определить угол $\alpha$ между осью $O_1\eta$ и линией пересечения плоскости $Oxy$ c экраном?

Мои попытки. Если бы точка $P$ лежала в плоскости $Oxy$, то для ответа на поставленный вопрос хватило бы двух измерений. Но точке $P$ запрещено быть в этой плоскости. Можно найти тень, отбрасываемую на экран осью $Oz$, но что это даст, непонятно, так как ничего неизвестно про положение оси по отношению к экрану. В общем, я пытался решить задачу аналитически, а именно выписывал выражения для проекции (тени) точки на экран и уравнения преобразования из одной системы координат в другую. Получил систему уравнений с несколькими неизвестными, которую можно было даже решить, при условии, однако, что хотя-бы что-нибудь известно. Я нашел, что если бы угол $\alpha$ был известен, то конфигурацию системы можно было бы восстановить точно по нескольким проекциям точки $P$, т.е. найти координаты источника в системе $Oxyz$, расстояние $OO_1$ и взаимное расположение систем $Oxyz$ и $O_1\eta\zeta$. Но как найти сам угол по проекциям точки и возможно ли это в принципе, так и не понял. Буду благодарен за любой совет с Вашей стороны.

[Munin]

Смещая точку $P$ от начального положения в положения, сдвинутые по осям $x,y$ и $z,$ можно найти проекцию базиса $Oxyz$ на $O_1\eta\zeta.$ После этого, все углы находятся автоматически.

[unistudent]

Не думаю, что все так просто. Вот если бы были известны координаты точки в двух разных системах отсчета, тогда да. Но здесь ситуация все-таки другая - известны лишь проекции точки на плоскость. Грубо говоря, имеет место отображение из пространства большей размерности в пространство меньшей размерности.

[ihq.pl]

Munin в сообщении #1063641 писал(а):

Смещая точку $P$ от начального положения в положения, сдвинутые по осям $x,y$ и $z,$ можно найти проекцию базиса $Oxyz$ на $O_1\eta\zeta.$ После этого, все углы находятся автоматически.

Собственно, это именно то, что я делал. К сожалению, не получилось. В любом случае, большое спасибо за участие. Буду думать дальше:)

[Munin]

ihq.pl в сообщении #1063954 писал(а):

К сожалению, не получилось.

Приведите ваши выкладки.

[ihq.pl]

Munin в сообщении #1063969 писал(а):

ihq.pl в сообщении #1063954 писал(а):

К сожалению, не получилось.

Приведите ваши выкладки.

Писать придется однако много Обозначения: $O_1\eta_1 \zeta_1$ - система координат в плоскости экрана; $t,s$ и $h$ величины приращений $\Delta x, \Delta y$ и $\Delta z$ соответсвтенно; $\bold P(t,s,h)$ - радиус-вектор точки $P$ относительна начала координат $O$; $\bold F$ радиус-вектор источника света относительно того же центра; $O\xi\eta\zeta$ - новая система координат , которая получается из $Oxyz$ двумя поворотами, сначала на угол $\gamma$ вокруг оси $Oz$, а затем на угол $\beta$ вокруг оси $O\eta$. Углы $\beta$ и $\gamma$ такие, что ось $\xi$ перпендикулярна экрану. Так как ось $O\eta$ параллельна плоскости экрана и лежит в плоскости $Oxy$, то искомым углом $\alpha$ является угол между осями $O\eta$ и $O_1\eta_1$. Теперь напишу уравнения, которыми я пользовался.

В системе $O\xi\eta\zeta$ плоскость экрана задана уравнением

$$\xi=d,$$

а координаты точки $P$ - функциями

$$\begin{array}{lr}\xi_P(t,s,h) = \xi_0+(t\cos\gamma+s\sin\gamma)\cos\beta - h\sin\beta, \\ \eta_P(t,s,h) = \eta_0 -t\sin\gamma+s\cos\gamma, \\ \zeta_P(t,s,h)= \zeta_0 + (t\cos\gamma+s\sin\gamma)\sin\beta + h\cos\beta, \end{array} \qquad (1)$$

где $\xi_0, \eta_0, \zeta_0$ - координаты точки $P$ в начальном положении. Проекция (тень) точки $P$ на экран задается радиус-вектором $\bold R$,

$$\bold R(t,s,h)=\bold F +\left(\bold P(t,s,h)-\bold F\right) T(t,s,h), \qquad (2)$$

где

$$T(t,s,h) = \frac{d-\xi_F}{\xi_P(t,s,h)-\xi_F}. \qquad (3)$$

Проекциями ортов системы $Oxyz$ на плоскость экрана будут векторы

$$\begin{array} {lr} \mathcal P\bold e_x=\bold R(1,0,0)-\bold R(0,0,0), \\ \mathcal P\bold e_y= \bold R(0,1,0)-\bold R(0,0,0), \\ \mathcal P\bold e_z= \bold R(0,0,1)-\bold R(0,0,0). \end{array}$$

Для компонент векторов $\mathcal P\bold e_x, \mathcal P\bold e_y, \mathcal P\bold e_z$ в системе координат $O\xi\eta\zeta$ имеем

$$\left(\mathcal P\bold e_x\right)_\xi=\left(\mathcal P\bold e_y\right)_\xi=\left(\mathcal P\bold e_z\right)_\xi = 0,$$

$$\begin{array}{lr} \left(\mathcal P\bold e_x\right)_\eta=\Delta_{x\eta}=-a_x\left[(\xi_0-\xi_F)\sin\gamma+(\eta_0-\eta_F)\cos\gamma\cos\beta\right], \\ \left(\mathcal P\bold e_y\right)_\eta=\Delta_{y\eta}=a_y\left[(\xi_0-\xi_F)\cos\gamma-(\eta_0-\eta_F)\sin\gamma\cos\beta\right], \\ \left(\mathcal P\bold e_z\right)_\eta=\Delta_{z\eta}=a_z(\eta_0-\eta_F)\sin\beta, \\ \left(\mathcal P\bold e_x\right)_\zeta=\Delta_{x\zeta}=a_x\left[(\xi_0-\xi_F)\sin\beta-(\zeta_0-\zeta_F)\cos\beta\right]\cos\gamma, \\ \left(\mathcal P\bold e_y\right)_\zeta=\Delta_{y\zeta}=a_y\left[((\xi_0-\xi_F)\sin\beta-(\zeta_0-\zeta_F)\cos\beta\right]\sin\gamma, \\ \left(\mathcal P\bold e_z\right)_\zeta=\Delta_{z\zeta}=a_z\left[(\xi_0-\xi_F)\cos\beta+(\zeta_0-\zeta_F) \sin\beta\right], \end{array} \qquad (4) $$

где

$$a_x = \frac{(d-\xi_F)^2}{(\xi_0-\xi_F)(\cos\gamma\cos\beta+\xi_0-\xi_F)},$$

$$a_y =\frac{(d-\xi_F)^2}{(\xi_0-\xi_F)(\sin\gamma\cos\beta+\xi_0 -\xi_F)},$$

$$a_z = \frac{(d-\xi_F)^2}{(\xi_0-\xi_F)(-\sin\beta+\xi_0-\xi_F)}$$

Левые части в (4) неизвестны, потому что мы делаем измерения не в $O_1\eta\zeta$, а в системе $O_1\eta_1\zeta_1$, оси которой повернуты относительно осей системы $O_1\eta\zeta$ на неизвестный угол $\alpha$. Переходя к системе $O_1\eta_1\zeta_1$, получаем

$$\begin{array}{lr} \Delta_{x\eta_1}\cos\alpha + \Delta_{x\zeta_1}\sin\alpha=-a_x\left[(\xi_0-\xi_F)\sin\gamma+(\eta_0-\eta_F)\cos\gamma\cos\beta\right], \\ \Delta_{y\eta_1}\cos\alpha + \Delta_{y\zeta_1}\sin\alpha=a_y\left[(\xi_0-\xi_F)\cos\gamma-(\eta_0-\eta_F)\sin\gamma\cos\beta\right], \\ \Delta_{z\eta_1}\cos\alpha + \Delta_{z\zeta_1}\sin\alpha=a_z(\eta_0-\eta_F)\sin\beta, \\ -\Delta_{x\eta_1}\sin\alpha + \Delta_{x\zeta_1}\cos\alpha=a_x\left[(\xi_0-\xi_F)\sin\beta-(\zeta_0-\zeta_F)\cos\beta\right]\cos\gamma, \\ -\Delta_{y\eta_1}\sin\alpha + \Delta_{y\zeta_1}\cos\alpha=a_y\left[((\xi_0-\xi_F)\sin\beta-(\zeta_0-\zeta_F)\cos\beta\right]\sin\gamma, \\ -\Delta_{z\eta_1}\sin\alpha + \Delta_{z\zeta_1}\cos\alpha=a_z\left[(\xi_0-\xi_F)\cos\beta+(\zeta_0-\zeta_F) \sin\beta\right]. \end{array} \qquad (5)$$

Здесь $\Delta_{x\eta_1}, \Delta_{x\zeta_1}, ...,\Delta_{z\zeta_1}$ известные значения, больше ничего неизвестно.

[Munin]

Я понял, что я неправильно прочитал условия. Мой первый совет был неправильный.

[iifat]

Если повернуть точку вокруг $OZ$, она опишет окружность. Тень — некий овал. Ось симметрии овала перпендикулярна искомой прямой пересечения, а проведя перпендикулярный диаметр, из соотношения «радиусов» можно, подозреваю, вычислить расстояние — но расстояние до пересечения плоскости, параллельной $OXY$, проходящей через $P$, с плоскостью экрана. Если не заданы координаты $P$, то это всё, по-моему. Кстати, если координаты не заданы, как вы сможете убедиться, что ваше движение не проведёт $P$ через $OXY$?

[ihq.pl]

iifat в сообщении #1064591 писал(а):

Если повернуть точку вокруг $OZ$, она опишет окружность. Тень — некий овал. Ось симметрии овала перпендикулярна искомой прямой пересечения

В этом месте у меня сомнения. Ведь можно поворачивать плоскость экрана так, чтобы линия пересечения на нем не изменялась. Например вращать экран вокруг линии пересечения, или вокруг оси, перпендикурной плоскости $Oxy$. Овал при этом будет меняться. И разве одна из его осей симметрии обязана при этом всегда оставаться перпендикулярной линии пересечения?

iifat в сообщении #1064591 писал(а):

если координаты не заданы, как вы сможете убедиться, что ваше движение не проведёт $P$ через $OXY$?

Я немного неправильно описал ограничение. Надо было так: $z_P \ge z_0 > 0$

[Munin]

Я думаю вот в каком направлении. Надо заставить точку $P$ сходить по вершинам куба. Тогда в проекции получится не куб, а "искажённый куб", со сходящимися сторонами. Потом точки схождения его сторон (возможно, лежащие очень далеко) покажут, где плоскость экрана пересекается с линиями, выходящими из точки $F,$ и параллельными рёбрам исходного куба. Поскольку мы знаем ещё и углы между этими линиями, то точка $F$ после этого строится в пространстве однозначно, и плоскость $Oxy$ тоже.