Биномиальная случайная величина

[Joe Black]

Здравствуйте! Я хочу доказать, что биномиальная случайная величина сходится к нормальной через хар функцию. Я рассматриваю:
$T_n=\dfrac{B_n-np}{\sqrt{npq}}$ и хочу показать $\phi_{T_n}(t)\rightarrow exp(-\dfrac{t^2}{2})$

Я нашёл, что
$\phi_{T_n}(t)=\dfrac1n(pe^{\dfrac{itq}{\sqrt{npq}}}+qe^{-\dfrac{itp}{\sqrt{npq}}})^n=\dfrac1n(1-\dfrac{t^2}{2n})^n$

То есть косяк в коэффициенте перед скобкой, знает кто нибудь как довести до конца?

[Brukvalub]

Я знаю, как довести до конца. Но сначала нужно правильно начать.

[Joe Black]

Вот такое начало:

$\phi_{T_n}(t)=\mathbb{E}(e^{it\frac{B_n-np}{\sqrt{npq}}})=\mathbb{E}(e^{\frac{itB_n}{\sqrt{npq}}})e^{-it\frac{np}{\sqrt{npq}}}=e^{-it\frac{np}{\sqrt{npq}}}\frac1n\sum_{x=0}^{n}e^{\frac{itx}{\sqrt{npq}}}C_n^xp^xq^{n-x}=e^{-it\frac{np}{\sqrt{npq}}}\frac1n\sum_{x=0}^{n}C_{n}^{x}(pe^{\frac{c}{\sqrt{npq}}})^xq^{n-x}=\frac1n(pe^\frac{it}{\sqrt{npq}}+q)^n$

[NSKuber]

Joe Black
В том равенстве, где у вас $\frac{1}{n}$ появилось, откуда оно взялось? Слева от него - вынесенная константа, справа - матожидание, а оно к кому относится?

[Joe Black]

Понял, оно лишнее, слишком долго имел дело с ЗБЧ((