Определение асимптотики функции, заданной параметрически

[zcorvid]

Есть следующая задача.

Дано $p \to \infty$, $s = C_{p^4}^{p}$, $n = C_{p^4}^{p^2}$. Нужно найти представление $n(s)$ в виде $n(s) = (e + o(1))^{f(s)}$ (определить функцию $f(s)$, константа нам уже сказана, какая будет).

Каким образом такую задачу можно решать ? Я нашёл асимптотики $s$ и $n$ как функций от $p$ (Стирлинг и известные асимптотика для биномиальных коэффициентов):

$s \sim \frac{p^{3p}e^p}{\sqrt{2\pi p}}$

$n \sim \frac{p^{2p^2}e^{p^2}}{\sqrt{2\pi p^2}} \cdot e^{-\frac{1}{2} + \frac{1}{2 p^2}}$

Теперь нужно как-то "перевыразить" $n$ через $s$, и тут у меня пока тупик.

Подскажите, пожалуйста, какую-нибудь хорошую идею.

(Оффтоп)

PS. На самом деле тут не асимптотику нужно определить, формулировка задачи требует нахождения более слабого утверждения, чем асимптотика (потому то указанное представление и асимптотика это, конечно, не одно и то же), но я не знаю, как назвать это, поэтому назвал асимптотикой. Если кто знает, как лучше назвать тему - переименую (или модератор переименует).

[NSKuber]

Во-первых, внимательно посмотрите предоставленные видеолекции ШАД по данной тематике, там много хорошего. И семинары посещайте/смотрите видео.
Если после этого идеи в голову сами не приходят - логарифмируйте!

[zcorvid]

Прологарифмировал, упростил, получились следующие две эквивалентности:

$p \sim \frac{\ln s}{3 \ln\ln s}$

$p \sim \sqrt{\frac{\ln n}{\ln\ln n}}$

Что теперь с ними сделать пока не знаю, там $n (s)$ в явном виде не получается, только $\ln n(s)$, поэтому выражается только $p$. А экспоненту тут брать нельзя - она портит эквивалентность (в отличие от логарифма).

Пока думаю, может сейчас что-то пойму...

-- 19.10.2015, 10:55 --

Для $n$ получилось следующее:

$\ln n \sim \frac{2(\ln s)^2}{9 \ln\ln s}$

Но это логарифм, думаю, как его снять.

-- 19.10.2015, 11:03 --

Всё, похоже понял - нам то не асимптотика нужна, а лишь представление в виде $n(s) = (e + o(1))^{f(s)}$, то есть нужно фактически узнать, чему эквивалентен логарифм, поэтому тут получается, что

$f(s) = \frac{2(\ln s)^2}{9 e \ln\ln s}$

($e$ в знаменателе, так как нужно $n(s) = (e + o(1))^{f(s)}$, а не $n(s) = (1 + o(1))^{f(s)}$). Вроде верно, особенно меня интересует, корректно ли рассуждение с перекидыванием $e$ в знаменатель выражения для $f(s)$.

-- 19.10.2015, 11:10 --

Чуток проврался.

В знаменателе $e$ не должно быть, так как:

$n = (e + o(1))^{f(s)}$

$\ln n = f(s) \cdot \ln (e + o(1)) = f(s) \cdot (1 + o(1))$

Дело в том, что $\ln (e + o(1)) = 1 + o(1)$, а не $e + o(1)$

Вроде разобрался, спасибо.

-- 19.10.2015, 11:18 --

NSKuber в сообщении #1064295 писал(а):

Во-первых, внимательно посмотрите предоставленные видеолекции ШАД по данной тематике, там много хорошего. И семинары посещайте/смотрите видео.
Если после этого идеи в голову сами не приходят - логарифмируйте!

Про логарифмирование отличная идея, спасибо, что самое интересное - я уже применял этот приём в другой задаче (там нужна была асимптотика функции, обратной к заданной).

Там есть ещё несколько задач, которые я уже собирался поспрашивать, но сейчас попробую там логарифмами поиграться, наверняка большинство поддадутся )

[NSKuber]

$f(s) = \frac{2(\ln s)^2}{9 \ln\ln s}$ - правильный ответ. Как я понял из последнего редактирования, его вы в итоге и получили.

[zcorvid]

NSKuber в сообщении #1064311 писал(а):

$f(s) = \frac{2(\ln s)^2}{9 \ln\ln s}$ - правильный ответ. Как я понял из последнего редактирования, его вы в итоге и получили.

Да, спасибо за идею.

Важный вывод, который я сейчас вынес - при работе с асимптотиками биномиальных коэффициентов (да и факториалов тоже) прежде всего нужно попробовать логарифмом, из-за вида формулы Стирлинга это обычно очень полезно.