2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Задача на определение асимптотики суммы
Сообщение19.10.2015, 09:28 
Аватара пользователя
Требуется найти асимптотику при $n \to \infty$ суммы $\sum_{k = 0}^{n}(C_{n}^{}k)^5$.

Как подступиться к этой задаче ? Для суммы квадратов легко сделать - она явно вычисляется. Находить асимптотику биномиального коэффициента $C_{n}^k$ я тоже знаю как (а значит с всех его степеней), с суммой дело обстоит хуже - очень сомнительно, что асимптотика такой суммы будет определяться самым большим биномиальным коэффициентом (например в случае суммы квадратов это попросту не так). Мне кажется, что нужно как-то разделить сумму на несколько кусков: середина (около наибольшего биномиального коэффициента) и хвосты, хвосты оценятся чем-то малым, а середина даст искомую асимптотика. Но вот по какому порогу разделить сумму (да и как, собственно, потом оцениваться) не очень понятно...

Ещё была идея заменить биномиальные коэффициенты чем-то эквивалентным, что можно проинтегрировать, и потом взять интеграл (я слышал, что поведение биномиальных коэффициентов "похоже" на функцию плотности нормального распределения с мат. ожиданием в $\frac{n}{2}$, дисперсию сейчас сходу не могу назвать, но, думаю, её не очень сложно подсчитать). Но тут возникает много вопросов из-за нестрогости: как именно заменить ? почему замена приведёт к эквивалентной функции ? (и тому подобные).

 
 
 
 Re: Задача на определение асимптотики суммы
Сообщение19.10.2015, 09:45 
Несколькими темами ниже:
topic101918.html

(Оффтоп)

Похоже, каждый год ШАДовцы тут её спрашивают :D

 
 
 [ Сообщений: 2 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group