Исследование функции на выпуклость

[Lenar0809]

Здравствуйте. Подскажите пожалуйста! Есть следующая задача: необходимо исследовать на выпуклость функцию, представленную неоднородным полиномом второй степени, не являющимся квадратичной формой. В литературе для подобного исследования предлагается критерий Сильвестра, но также везде указывается, что он применим только для квадратичных форм. Как быть? Спасибо.

[мат-ламер]

Lenar0809 в сообщении #1063890 писал(а):

необходимо исследовать на выпуклость функцию, представленную неоднородным полиномом второй степени,

Вторую производную от полинома сможете подсчитать?

-- Вс окт 18, 2015 13:35:00 --

мат-ламер в сообщении #1063893 писал(а):

Вторую производную от полинома сможете подсчитать?

Поясню. Для выпуклости важна только вторая производная. При её вычислении члены первого и нулевого порядка пропадают. Остаётся только квадратичная форма, исследовать которую вы умеете.

[Lenar0809]

Я могу посчитать весь набор вторых производных, то есть получится матрица из них. Так вот, как я понял, применить критерий Сильвестра к данной матрице для определения выпуклости можно применить только если исходный полином является квадратичной формой. То есть, если полином не является квадратичной формой, то критерий Сильвестра не применим. Так вот как можно исследовать на выпуклость без применения данного критерия?

-- 18.10.2015, 15:13 --

Приведу пример: функция $f(x_1,x_2)=a_1x_1^2+a_2x_2^2+a_3x_1^2x_2^2+a_4x_1^2x_2+a_5x_1x_2^2+a_6x_1x_2+a_7x_1+a_8x_2+1$,
где $a_1$, $a_2$,...$a_8$ - числовые коэффициенты.
Данная функция не является квадратичной формой, соответственно критерий Сильвестра не применим. Вторые производные берутся легко. Только что с ними потом делать?

[demolishka]

Применять критерий Сильвестра нужно не к функции, а ко второму дифференциалу, который является квадратичной формой и соответственно матрица из вторых производных это матрица этой квадратичной формы.

[Lenar0809]

Но в данном случае ни первые частные производные, ни вторые частные производные не являются квадратичными формами.

[provincialka]

Lenar0809 в сообщении #1063987 писал(а):

Но в данном случае ни первые частные производные, ни вторые частные производные не являются квадратичными формами.

Ну, как бы... они и в других случаях не являются

Вот, пусть $f(x,y)=x^2y+xy-2x+1$. Тогда $df=(2xy+y-2)dx+(x^2+x)dy$ и
$d^2f=2ydx^2+2(2x+1)dxdy+0\cdot dy^2$.

Вот этот второй дифференциал и есть квадратичная форма от $dx,dy$. Правда, ее коэффициенты зависят от $x,y$... Ну и что?

[Lenar0809]

Кажется начинаю понимать. Всем большое спасибо :)

[мат-ламер]

Lenar0809
Тут ещё может быть проблема, что мы по-разному понимаем вторую производную (дифференциал). По этому поводу тему открыл http://dxdy.ru/topic101972.html. Но я начал с того, что предложил

мат-ламер в сообщении #1063893 писал(а):

Вторую производную от полинома сможете подсчитать?

для того чтобы посмотреть, как у вас определён этот термин. Но матрица вторых производных по-любои=му должна была быть. И к ней критерий Сильвестра надо было применить.