2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Исследование функции на выпуклость
Сообщение18.10.2015, 11:39 
Здравствуйте. Подскажите пожалуйста! Есть следующая задача: необходимо исследовать на выпуклость функцию, представленную неоднородным полиномом второй степени, не являющимся квадратичной формой. В литературе для подобного исследования предлагается критерий Сильвестра, но также везде указывается, что он применим только для квадратичных форм. Как быть? Спасибо.

 
 
 
 Re: Исследование функции на выпуклость
Сообщение18.10.2015, 11:47 
Аватара пользователя
Lenar0809 в сообщении #1063890 писал(а):
необходимо исследовать на выпуклость функцию, представленную неоднородным полиномом второй степени,

Вторую производную от полинома сможете подсчитать?

-- Вс окт 18, 2015 13:35:00 --

мат-ламер в сообщении #1063893 писал(а):
Вторую производную от полинома сможете подсчитать?

Поясню. Для выпуклости важна только вторая производная. При её вычислении члены первого и нулевого порядка пропадают. Остаётся только квадратичная форма, исследовать которую вы умеете.

 
 
 
 Re: Исследование функции на выпуклость
Сообщение18.10.2015, 14:55 
Я могу посчитать весь набор вторых производных, то есть получится матрица из них. Так вот, как я понял, применить критерий Сильвестра к данной матрице для определения выпуклости можно применить только если исходный полином является квадратичной формой. То есть, если полином не является квадратичной формой, то критерий Сильвестра не применим. Так вот как можно исследовать на выпуклость без применения данного критерия?

-- 18.10.2015, 15:13 --

Приведу пример: функция $f(x_1,x_2)=a_1x_1^2+a_2x_2^2+a_3x_1^2x_2^2+a_4x_1^2x_2+a_5x_1x_2^2+a_6x_1x_2+a_7x_1+a_8x_2+1$,
где $a_1$, $a_2$,...$a_8$ - числовые коэффициенты.
Данная функция не является квадратичной формой, соответственно критерий Сильвестра не применим. Вторые производные берутся легко. Только что с ними потом делать?

 
 
 
 Re: Исследование функции на выпуклость
Сообщение18.10.2015, 15:31 
Аватара пользователя
Применять критерий Сильвестра нужно не к функции, а ко второму дифференциалу, который является квадратичной формой и соответственно матрица из вторых производных это матрица этой квадратичной формы.

 
 
 
 Re: Исследование функции на выпуклость
Сообщение18.10.2015, 16:20 
Но в данном случае ни первые частные производные, ни вторые частные производные не являются квадратичными формами.

 
 
 
 Re: Исследование функции на выпуклость
Сообщение18.10.2015, 18:09 
Аватара пользователя
Lenar0809 в сообщении #1063987 писал(а):
Но в данном случае ни первые частные производные, ни вторые частные производные не являются квадратичными формами.

Ну, как бы... они и в других случаях не являются :shock:

Вот, пусть $f(x,y)=x^2y+xy-2x+1$. Тогда $df=(2xy+y-2)dx+(x^2+x)dy$ и
$d^2f=2ydx^2+2(2x+1)dxdy+0\cdot dy^2$.

Вот этот второй дифференциал и есть квадратичная форма от $dx,dy$. Правда, ее коэффициенты зависят от $x,y$... Ну и что?

 
 
 
 Re: Исследование функции на выпуклость
Сообщение19.10.2015, 19:06 
Кажется начинаю понимать. Всем большое спасибо :)

 
 
 
 Re: Исследование функции на выпуклость
Сообщение19.10.2015, 20:26 
Аватара пользователя
Lenar0809
Тут ещё может быть проблема, что мы по-разному понимаем вторую производную (дифференциал). По этому поводу тему открыл http://dxdy.ru/topic101972.html. Но я начал с того, что предложил
мат-ламер в сообщении #1063893 писал(а):
Вторую производную от полинома сможете подсчитать?

для того чтобы посмотреть, как у вас определён этот термин. Но матрица вторых производных по-любои=му должна была быть. И к ней критерий Сильвестра надо было применить.

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group