найти кол-во членов ряда

[std]

Есть ряд $a_1 + a_2 + ... + a_n + ...$
Сумма первых u членов $S_u = a_1 + a_2 + ... + a_u = u^k,$
k = 1, 2, 3 ...
Как найти u?

[maxal]

У вас формулировка нечёткая. Как, например, понимать $k=1,2,3,\dots$ и его взаимосвязь с $u$? Имеется ли в виду, что

$$\forall k\in\mathbb{N}\ \exists u : S_u = u^k,$$

и нужно найти $u$ как функцию от $k$? Или что-то другое?

[std]

В общем случае не для каждого k = 1, 2, 3... существует u, для которого $S_u = u^k$


Если общий случай не решаемый, как на счет частного? Пусть k = 2:

$S_u = u^2$

найти u, если есть

[maxal]

То есть, дан произвольный ряд и надо проверить существует ли такое $u$, что $S_u=u^2$ ?
В таком виде задача не имеет смысла, так как все зависит от данного ряда - для каких-то рядов это легко проверить, для каких-то - нет.

[std]

Описываю ряд $a_1 + a_2 + ... + a_n + ...$ :
$a_1$ известно, $a_i = a_{i-1} - b_i$, где $b_i$ член аналогичного ряда $b_1 + b_2 + ... + b_n + ...$,
$b_1$ известно, $b_i = b_{i-1} - c_{i}$, $c_i$ член аналогичного ряда $c_1 + c_2 + ... + c_n + ...$,
$c_1$ известно, $c_i = c_{i-1} - d_i$, $d_i$ член аналогичного ряда ... и т. д. до бесконечности.
В общем рекурсия.
Пусть на некоторой v-той итерации будет допустимым приравнять все члены ряда V к некоторой константе vconst:
$v_i = vconst$, чтобы раскрутить все в обратную сторону.

Можно ли решить исходную задачу хотя бы для какого-нибудь частного k?

[незваный гость]

При $k =1$: $a_i = vconst$.
При $k=2$: $a_1 = vconst$, $a_i = 0$ при $ i > 1$.
При $k=3$
…

Зачем это всё?

[maxal]

незваный гость писал(а):

:evil:
При $k =1$: $a_i = vconst$.
При $k=2$: $a_1 = vconst$, $a_i = 0$ при $ i > 1$.

Отнюдь. При $k=2$ получается $a_i = a_1 - v\cdot (i-1)$ - арифметическая прогрессия.

А в общем случае получается аналог фигурных ($k$-угольных) чисел.

[незваный гость]

«может я чего нибудь не понял, // но она обиделась, ушла.»

Чего хочет std я, перечитав, понимать перестал.

Я, поначалу, прочитал как вопрос о существовании $a_{i, 1}$ такого, что если $a_{i,n+1} = \sum_{j=1}^{i}a_{j,n}$, то существует $k$ такое, что $\forall i: a_{i,k} = v $.

Добавлено спустя 2 минуты 24 секунды:

Кстати, если речь идёт о разностной схеме, то ответ (полином степени $k-1$) хорошо известен.

[maxal]

std писал(а):

Описываю ряд $a_1 + a_2 + ... + a_n + ...$ :
$a_1$ известно, $a_i = a_{i-1} - b_i$, где $b_i$ член аналогичного ряда $b_1 + b_2 + ... + b_n + ...$,
$b_1$ известно, $b_i = b_{i-1} - c_{i}$, $c_i$ член аналогичного ряда $c_1 + c_2 + ... + c_n + ...$,
$c_1$ известно, $c_i = c_{i-1} - d_i$, $d_i$ член аналогичного ряда ... и т. д. до бесконечности.
В общем рекурсия.
Пусть на некоторой v-той итерации будет допустимым приравнять все члены ряда V к некоторой константе vconst:
$v_i = vconst$, чтобы раскрутить все в обратную сторону.

Можно ли решить исходную задачу хотя бы для какого-нибудь частного k?

Насколько я понял, в двуиндексном обозначении это записывается так:

$$a^{(j)}_i = a^{(j)}_{i-1} - a^{(j+1)}_i$$

где $a^{(j)}_1$ заданы, $j=1,\dots,k-1$ и $i=2,3,\dots$, и кроме того, $a^{(k)}_i= v$ (та самая константа) для всех $i$.

[std]

maxal
да, Вы правы

мне казалось, что будет понятней, если я распишу подробно

[maxal]

std
ну так и что требуется найти?

[std]

найти u - количество членов данного ряда, для которого
$S_u = u^k,
если есть

[maxal]

Во-первых, какого ряда? Этого
$S_u = \sum_{i=1}^u a^{(1)}_i$ ?

Во-вторых, $k$ здесь произвольное число или фиксированное?

В-третьих, без заданных начальных условий (то есть значений $a^{(j)}_1$) вряд ли можно обойтись.

[std]

Спасибо за Ваше терпение и внимание.
Извините, если неясно излагаю.

да, речь о ряде
$S_u = \sum_{i=1}^u a^{(1)}_i$

пусть k отсутствует

$S_u = f(u)$,

$a_i^j > 0$,
$a_{i-1}^j > a_i^{j+1}$,
$a_{i-1}^j > a_i^j$

как решать?

[maxal]

Этого недостаточно.