Многочлен как сумма квадратов

[provincialka]

Прочитала задачку, но как-то нет запала ее решать. Хотя она, видимо, известная. Может, кто подскажет решение?

Задача. Многочлен принимает только положительные значения. Покажите, что он может быть представлен в виде суммы квадратов многочленов (все коэффициенты предполагаются действительными числами).

Имеется в виду многочлен от одной переменной. Насчет нескольких не знаю, верно ли.

[iancaple]

Может, и известная. Объединим комплексные корни попарно, получим

$$P(x)=\prod_{i=1}^n[(x+a_i)^2+b_i^2]$$

А теперь каждую пару квадратных скобок можно превратить в одну квадратную скобку, тоже имеющую вид суммы квадратов двух многочленов, по тождеству $[A^2+B^2][C^2+D^2]=(AC+BD)^2+(AD-BC)^2$, пока не останется сумма двух квадратов. Этот прием часто применяется для чисел, но очень известный.

[provincialka]

А! Хорошее решение, спасибо, iancaple. А то мне сейчас надо много задач готовить, а прорешивать все сил и времени нет!

-- 08.10.2015, 22:27 --

Кстати, сейчас подумала. Там ведь не говорится о сумме именно двух квадратов. А значит можно просто раскрыть скобки: каждое произведение квадратов снова есть квадрат (менее красивое решение, но более доступное студентам).

[sup]

Можно разбить все корни на две группы комплексно-сопряженных и в каждой группе перемножить соответствующие множители. Тогда

$$ P(x) = (A(x) + iB(x)) (A(x) - iB(x)) = A^2(x) + B^2(x)$$

А вот в многомерном случае уже разложения на квадраты полиномов может не быть. Нужны рациональные функции (дроби из полиномов).
Это теорема Артина, решающая 17-ю проблему Гильберта.
Доказательство можно посмотреть в книжке Прасолова "Многочлены".
Вот замечательный пример Моцкина

$$ x^2y^2(x^2 + y^2 -3) +1$$

Это неотрицательный полином, не представимый в виде суммы квадратов полиномов.

[provincialka]

sup, большое спасибо ! Я так и подозревала (и то, что в многомерном случае неверно, и то, что доказать это совсем не просто).

(Оффтоп)

Ну, моим "прикладникам" такие далекоидущие выводы не нужны... Так, немного повторить математику и порешать что-нить нестандартное

[Sender]

sup в сообщении #1060750 писал(а):

Вот замечательный пример Моцкина

$$ x^2y^2(x^2 + y^2 -3) +1$$

Мне кажется, можно подобрать полином меньшей степени. Вот, к примеру, $x^4+y^4+x^2y+xy^2+1$ представим в виде суммы квадратов или нет?

[Edward_Tur]

$$x^4+y^4+x^2 y+x y^2+1=\frac23\left(x^2+\frac34y\right)^2+\frac23\left(y^2+\frac34x\right)^2+\frac13\left(x^2-\frac9{16}\right)^2+\frac13\left(y^2-\frac9{16}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{101}{128}}\right)^2$$

[TR63]

$x^4-x^2y-xy^2+y^4+1=(x^2-\frac{y+1}{2})^2+(x-\frac{y^2}{2})^2+\frac 1 4[2y^2+1+(y^2-1)^2+(y-1)^2]$
Последнюю скобку можно представить суммой двух квадратов (мой способ длинноват; можно ли короче?).
Ещё вопрос: если неизвестно точное значение корней в одномерном случае, то существует ли общий способ представления положительного многочлена с действительными коэффициентами суммой квадратов; или каждый раз нужны кустарные методы?
Я думаю, если бы такой общий способ имелся, то зачем нужно решать частные задачи указанного типа. Если такой способ имеется, просьба указать ссылку.

[iancaple]

TR63 в сообщении #1061932 писал(а):

Я думаю, если бы такой общий способ имелся, то зачем нужно решать частные задачи указанного типа. Если такой способ имеется, просьба указать ссылку.

Возможен и третий случай: Вы первый человек, спросивший про это. В самом деле. кому и зачем это раньше могло понадобиться.
Действительно, предположим, что многочлен $P(x)$ степени $2n$ положителен, но его комплексные корни не выражаются в радикалах, или иррациональны... в общем нам не нравятся. Тогда от многочлена можно отнять небольшое число $r^2$, чтобы он остался положительным , но корни нам нравились (ну хотя бы два сопряженных), и значит, $P(x)=[(x+a)^2+b^2]Q(x)+r^2$, можно какой-нибудь алгоритм этой процедуре придумать. Потом то же самое сделать с $Q(x)>0$, и т.д. И получим некоторое разложение типа Горнера, а в нем, как предложила provincialka, раскроем все скобки (кроме одночленов вида $(x+a)^2$ ) и получим разложение многочлена степени $2n$ в сумму $2^{n+1}-1$ квадратов, зато "хороших"

[TR63]

iancaple в сообщении #1061954 писал(а):

Возможен и третий случай: Вы первый человек, спросивший про это.

Вроде, нет. Помнится, такой вопрос здесь был. Ответ- открытая проблема (не помню только-в одномерном или многомерном случае).

iancaple в сообщении #1061954 писал(а):

Тогда от многочлена можно отнять небольшое число $r^2$, чтобы он остался положительным, но корни нам нравились (ну хотя бы два сопряженных)

Сомневаюсь, что в общем случае это верно (или хотя бы доказано). Возможно, иногда надо будет прибавить. Т. е., я думаю, что предложенный Вами метод на общий не тянет.

[TR63]

iancaple,
Вашу идею поняла: надо брать в качестве хороших корней хорошие корни с недостатком от приближённых корней с недостатком.

-- 13.10.2015, 17:07 --

Да, но, если взять корни исходного уравнения с недостатком (т.е. взять $r^2$ с недостатком), останется ли многочлен положительным. Опять сомнения. (Подумаю).
Если метод, всё-таки, имеет статус общеизвестного общего метода, то нет ли матпакета, с помощью которого можно раскладывать любой одномерный положительный многочлен на сумму квадратов.

[TR63]

Скачала книгу Прасолова. Просмотрела оглавление и нужный текст по диагонали. Жуть. Частная задача для уравнения четвёртой степени, предложенная мной выше, решается при помощи совсем деЦкой идеи.

[arqady]

Sender в сообщении #1060985 писал(а):

Мне кажется, можно подобрать полином меньшей степени.

Вам правильно кажется!

[Rak so dna]

arqady в сообщении #1062905 писал(а):

Вам правильно кажется!

Например?

[arqady]

Имеется пример Робинсона.