Что такое диофантовы уравнения?

[Anton_Peplov]

Собственно, сабж. Всю жизнь считал, что это уравнения, где левая часть - многочлен с целыми коэффициентами, и решения тоже рассматриваются только целые. И в "Математической энциклопедии" так написано (правда, там еще допускаются рациональные решения). Однако вот услышал краем уха, что это частный случай ("алгебраические диофантовы уравнения"), а вообще диофантовым называется любое уравнение $P(x_1, x_2,... x_n) = 0$, где $P(x_1, x_2,... x_n)$ - функция, которая при целых аргументах принимает целые значения. Товарисч, от которого я это услышал, для меня не очень авторитетен по части математики, поэтому хотелось бы уточнить у тех, кто знает точно.

И связанный с этим вопрос: в каком определении диофантова уравнения Гильберт проблему-то свою сформулировал, насчет алгоритма отыскания решений (которого, как оказалось, нет)?

[provincialka]

А можете привести примеры функций, входящих в "краеуховое" определение, но не входящих в "обычное"?
(Это я так, в ожидании специалистов )

[Anton_Peplov]

Функция Дирихле.

[arseniiv]

Но она в ограничении на целые — скучная константа. Ведь, скорее всего, имелись в виду только функции целых аргументов, раз остальные их значения обычно не используются (и в определении никак не упоминаются)? В вашем случае легко привести вместо функции Дирихле какую-нибудь показательную с целым основанием, но я тоже без понятия, используются ли они в уравнениях, которые кто-то зовёт диофантовыми.

[Anton_Peplov]

arseniiv, ну Вы и пошутить толком не даете! Да, я тоже приберег функцию $y = a^x$, но лишь после того, как можно будет насладиться красотой и глупостью ответа про функцию Дирихле.
А все-таки кто сказал, что функция должна быть элементарной? $y = x+$все простые делители $x$ - чем не функция? А функция Аккермана?

[provincialka]

В проблеме Гильберта, как я вижу, говорится об алгебраических диофантовых уравнениях. А так, "без проблемы", конечно, и $2^n$ и $m^n$ и $n!$ и прочие такие же часто используются в диофантовых уравнениях.

[Anton_Peplov]

provincialka, а где Вы это видите? Ссылку на книжку можно?

[arseniiv]

(Оффтоп)

Anton_Peplov в сообщении #1062386 писал(а):

ну Вы и пошутить толком не даете!

Моё чувство юмора горизонтальным переносом подпортилось в другой теме.

[provincialka]

Нет, насчет книжек -- ждите специалистов, я же сказала... Я тупо глянула в википедию