Решение системы уравнений методом сложения, умножения и тд

[oleg9]

Предположим, у нас есть система двух уравнений с двумя неизвестными.

Для ее решения мы можем воспользоваться, например, методом алгебраического сложения, то есть сложить левые и правые части уравнений и приравнять их. Этот метод основан на том, что если к обеим частям уравнения прибавить равные числа или выражения, то получим уравнение аналогичное данному. Это понятно.

Но я не совсем осознаю справедливость этого метода в том случае, если система несовместна или одно (или несколько уравнений не имеют корней).

Мои размышления:

Действительно, если данная система несовместна, то нет таких пар (x, y), которые обращают оба уравнения в верные равенства. Следовательно, нет таких пар (x, y) при которых оба уравнения - верные равенства. Так КАК тогда мы можем складывать, вычитать (и тд) данные уравнения? Ведь в результате мы получим НЕВЕРНОЕ равенство, которое может иметь какие-угодно (!) корни или не иметь их вообще. И эти корни (или их отсутствие) никак не будут соотноситься с нашей системой.
То же самое можно сказать про систему, в которой одно из уравнений в принципе корней не имеет.

Где я прав/неправ?
Наставьте на путь истинный, пожалуйста.

[demolishka]

Поясните вот этот момент

oleg9 в сообщении #1062039 писал(а):

НЕВЕРНОЕ равенство, которое может иметь какие-угодно (!) корни

[Brukvalub]

Интересно, а вы что-нибудь слышали про равносильные преобразования и про преобразования-следствия?

[Xaositect]

oleg9 в сообщении #1062039 писал(а):

Действительно, если данная система несовместна, то нет таких пар (x, y), которые обращают оба уравнения в верные равенства. Следовательно, нет таких пар (x, y) при которых оба уравнения - верные равенства. Так КАК тогда мы можем складывать, вычитать (и тд) данные уравнения? Ведь в результате мы получим НЕВЕРНОЕ равенство, которое может иметь какие-угодно (!) корни или не иметь их вообще. И эти корни (или их отсутствие) никак не будут соотноситься с нашей системой.

Складывать и вычитать уравнения можно всегда, а вот как именно результат будет соотноситься с исходными уравнениями, надо смотреть.

Суть в том, что при решении уравнений мы пользуемся эквивалентными преобразованиями. Это такие приемы, которые не меняют множества решений, ни в случае, когда решения есть, ни в случае, когда их нет. Например:
Системы $\begin{cases} A(x) = B(x) \\ C(x) = D(x) \end{cases}$ и $\begin{cases} A(x) = B(x) \\ A(x) + C(x) = B(x) + D(x) \end{cases}$ эквивалентны.
Если $x$ - решение первой системы, то оно будет и решением второй системы. Если $x$ - решение второй системы, то оно будет и решением первой системы (для того, чтобы убедиться в этом, вычтем первое уравнение обратно).
Значит, если у первой системы решений нет, то их нет и у второй - потому что если бы у второй было какое-то решение $x$, то оно было бы и решением первой. и наоборот.

Это простейшие доказательства в алгебре, их в явном виде нигде не пишут.

[oleg9]

demolishka в сообщении #1062048 писал(а):

Поясните вот этот момент

oleg9 в сообщении #1062039 писал(а):

НЕВЕРНОЕ равенство, которое может иметь какие-угодно (!) корни

Имеем систему уравнений:

$\begin{cases}A(x) = B(x), \\ C(x) = D(x). \end{cases}$

Если данная система несовместна, то никакой $x$ ОДНОВРЕМЕННО в ВЕРНОЕ равенство ОБА уравнения не обращает. Так?
Дальше, складывая уравнения нашей системы, получаем следующее: $A(x) + C(x) = B(x) + D(x).$

Так вот, учитывая вышенаписанное в этом случае если $C(x) = D(x)$, то $A(x) \ne B(x)$, либо если $A(x) = B(x)$, то, естественно, $C(x)\ne D(x)$.

То есть мы прибавляем к левой и правой части уравнения (первого или второго, неважно) РАЗНЫЕ выражения, они не равны. Какое при этом возможно "равносильное преобразование"?

[Brukvalub]

oleg9 в сообщении #1062090 писал(а):

складывая уравнения нашей системы, получаем следующее: $A(x) + C(x) = B(x) + D(x).$

Это уравнение равносильно исходной системе?

[demolishka]

oleg9, замена двух уравнений одним это не равносильное преобразование. Странно, что сомнения у Вас появились только в случае отсутствия решений у исходной системы. Ведь, например, система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет решением точку пересечения двух прямых, а сумма этих уравнений задает целую прямую. Впрочем, Xaositect всё подробно изложил.

[oleg9]

Brukvalub
demolishka
Приношу свои извинения, в таком случае. Надо еще подумать получше, значит.

[oleg9]

Имеется теорема:
Если к какому-либо уравнению системы прибавить другое, а все остальные уравнения оставить без изменения, то получится система, равносильная данной.

Вопрос: как ее доказать?

Вот нашел одно доказательство. Но на мой взгляд оно неполное, т.к. оно только на тот случай, если у системы есть решения.

[provincialka]

oleg9
Прежде всего надо понять, что такое -- равносильные уравнения (системы уравнений). Два уравнения (системы) называются равносильными, если их множества корней совпадают. То есть, как и указано в вашем учебнике, каждый корень первого является корнем второго и наоборот.
В этом смысле все уравнения, не имеющие корней, равносильны между собой. Например, $\sin x =2$ равносильно $\frac{\ln x}{x-1} = 0$. Хотя доказать это какими-то преобразованиями одно в другое, пожалуй, трудновато!

Поэтому рассуждаем так. Если у системы $a=b,c=d$ не было корней, то и у $a=b,a+c=b+d$ не будет. Потому что в противном случае вычитанием из второго равенства первого мы получим исходную систему! И корни второй системы окажутся корнями первой (которых нет!)