вывод интегрального представления функции бесселя

[volchenok]

Здравствуйте, уважаемые участники форума. Давненько читал книжку, в которой определение функции Бесселя давалось через интеграл (а не через ряд) и соответственно получалось оно исходя только из уравнения Бесселя. Где можно почитать или подскажите идею вывода интегрального представления функции Бесселя , только нисходя из уравнения Бесселя. Заранее спасибо.

[Otta]

volchenok
Посмотрите здесь, Ватсон, Теория бесселевых функций, может, устроит.

[volchenok]

К сожалению в Ватсоне рассматривается классический подход: сначала на основе определения функции Бесселя выводится формула для производящей функции Бесселя, а потом на ее основе выводится интегральное представление. Мне же хотелось увидеть подход, который миновал бы определение функции Бесселя через ряд.

[oniksofers]

volchenok в сообщении #1060782 писал(а):

К сожалению в Ватсоне рассматривается классический подход: сначала на основе определения функции Бесселя выводится формула для производящей функции Бесселя, а потом на ее основе выводится интегральное представление. Мне же хотелось увидеть подход, который миновал бы определение функции Бесселя через ряд.

Берете уравнение бесселя, делает преобразование Лапласа по некоторому контуру $\int_{\gamma}{e^{-pz}f(z)dz}$, подставляете в уравнение, находите уравнение на функцию $f(z)$. Получаете интегральное представление, контур гамма выбирается из соображения зануления внеинтегральных членов.

[volchenok]

oniksofers
т.е. сделать преобразование Лапласа уравнения Бесселя и потом куда его подставлять? Или может быть не к уравнению Бесселя применять преобразования Лапласа?

[oniksofers]

Цитата:

т.е. сделать преобразование Лапласа уравнения Бесселя и потом куда его подставлять? Или может быть не к уравнению Бесселя применять преобразования Лапласа?

Я слегка опечатался в прошлом своем посте. Возьмем уравнение попроще,к примеру уравнение Эйри $w'' - zw = 0$. Скажем, что будем искать его решение в виде $w(z)=\int_{\gamma}{e^{zt}f(t)dt}$, тогда подставляя это представление в уравнение, получаем: $\int_{\gamma}{e^{zt}(t^{2}f(t)+f'(t))dt}-\left.e^{zt}f(t)\right|_{\gamma}=0$. Оба слагаемых должны быть по отдельности равны нулю. Предположим, что мы выбрали контур, на котором внеинтегральный член равен нулю, тогда имеем линейный диффур на функцию $f(t)$, дальнейшее очевидно.
Тоже самое можно проделать с уравнение Бесселя, конечно я привел только рецепт, по поводу строгого обоснования нужно копать литературу.