мат ожидание и индикаторы

[2old]

Показать, что $\inf\limits_{a}\mathbb{E}|\xi-a|$ достигается, когда $a$ медиана.
Пусть $a>0$, медиану перенесем в $0$.

$$\mathbb{E}(|\xi|)=\mathbb{E}( |\xi| I(\xi>a) + |\xi| I(\xi<0) +|\xi| I(0\leq\xi\leq a))=\mathbb{E}[\xi I(\xi>a)]-\mathbb{E}[\xi I(\xi<0)]+ \mathbb{E}[\xi I(0\leq\xi\leq a)]$$

А как посчитать $\mathbb{E}( |\xi| I(\xi>a))$? Хочется сказать конечно, что $\mathbb{E}( |\xi| I(\xi>a))=P(\xi>a)\mathbb{E}(\xi)$ По определению $\mathbb{E}( |\xi| I(\xi>a))=\sum\limits_{x_j<a}0+\sum\limits_{x_j>a}x_j P(x_j)$

Попробую пока без этого. Далее распишем

$$\mathbb{E}[|x-a|]=\mathbb{E}[(a-\xi)I(\xi<0)]+\mathbb{E}[(\xi-a)I(\xi>a)]+\mathbb{E}[(a-\xi)I(0\leq\xi\leq a)]=$$

$$=aP(\xi<0)-\mathbb{E}[\xi I(\xi<0)]-aP(\xi>a)+\mathbb{E}[\xi I(\xi>a)] + aP(0\leq\xi\leq a)-\mathbb{E}[\xi I(0\leq\xi\leq a)]=$$

$$=a(P(\xi<0)-P(\xi>a)+P(0\leq\xi\leq a))+ \mathbb{E}[\xi I(\xi>a)] - \mathbb{E}[\xi I(\xi<0)] - \mathbb{E}[\xi I(0\leq\xi\leq a)]$$

Теперь $\mathbb{E}[|x-a|]-\mathbb{E}[|\xi|]=$

$$=a[P(\xi<0)-P(\xi>a)+P(0\leq\xi\leq a)]-2\mathbb{E}[\xi I(0\leq\xi\leq a)]=$$

$$=a[P(\xi<0)-(1-P(\xi\leq a))+P(\xi\leq a)-P(\xi\leq 0)]-2\mathbb{E}[\xi I(0\leq\xi\leq a)]=$$

$$= a[2P(\xi\leq a)-1]-2\mathbb{E}[\xi I(0\leq\xi\leq a)]=2a[P(\xi\leq a)-\frac{1}{2}]-2\mathbb{E}[\xi I(0\leq\xi\leq a)] $$

Получилось что-то не то

[iancaple]

А если сразу приращение посмотреть $\mathbb{E}|\xi-a-da|-\mathbb{E}|\xi-a|=da\cdot P(\xi<a)-da\cdot P(\xi>a+da)+o(da)$ и когда оно положительно когда отрицательно

[2old]

Попробую оценить: $\mathbb{E}[\xi I(0\leq\xi\leq a)]\leq a(P(\xi\leq a)-P(\xi\leq 0))$

$$ 2a[P(\xi\leq a)-\frac{1}{2}-P(\xi\leq a)+P(\xi\leq 0)]=2a[P(\xi\leq 0)-\frac{1}{2}] $$

По определение медианы, получается разность $\geq 0$. Вроде успех

-- 09.10.2015, 19:01 --

iancaple
Я к сожалению не очень понял вашу идею. Показать, что при $a=0$ приращение отрицательно, а в остальных случаях положительно, где $0$ медиана?

[iancaple]

нет, задачу решал с начала, для произвольного $a$ Вам процитировал формулу "из середины", чтобы Вы дошли до нее а от нее до цели. Там еще нюансы есть.
Приращение отрицательно при $a$ меньше медианы и положительно при $a$ больше медианы, а случай, если $a$ равно медиане дискретной СВ и одному из вероятных значений -отдельно

[ewert]

2old в сообщении #1060841 писал(а):

Я к сожалению не очень понял вашу идею.

Попробую угадать, т.е. перефразировать. Скорее всего, имелось в виду тупо продифференцировать $\int\limits_{-\infty}^{\infty}|x-a|\,dF(x)$ по $a$. Интеграл после дифференцирования получается вполне вменяемым и потому формальное дифференцирование законно (а уж как эту законность формально обосновывать -- дело вкуса). Ну а производная модуля -- штука совсем простая.

[2old]

iancaple в сообщении #1060850 писал(а):

нет, задачу решал с начала, для произвольного $a$ Приращение отрицательно при $a$ меньше медианы и положительно при $a$ больше медианы, а случай, если $a$ равно медиане дискретной СВ и одному из вероятных значений -отдельно

Натупил, извините

-- 09.10.2015, 19:42 --

ewert
Понятно, спасибо. Я к сожалению пока не разобрался настолько, чтобы для произвольных распределений такие интегралы писать

[ewert]

2old в сообщении #1060862 писал(а):

Я к сожалению пока не разобрался настолько, чтобы для произвольных распределений такие интегралы писать

Ну для непрерывных-то Вы запросто можете его написать, раскрыв дифференциал. А для дискретных и сама постановка задачки достаточно бессмысленна, т.к. медианы, строго и вообще говоря, и вовсе не существует. (я-то написал тот интеграл просто по привычке)

[iancaple]

Извините, но Вы (честно) никто не угадали, хотя тоже полезные идеи. Просто (для $da >0$ )
$|\xi -a-da|-|\xi -a|=\{$ $\\da,\;\xi <a\\\in [-da,da],a<\xi <a+da;\\-da,\xi >a+da$, то есть "обычно константа" и матожидание этого сразу пишется с точностью до малой
А после подробного анализа уточняем, что минимум для ДСВ совпадает с тем ее значением, сразу после которого функция распределения превысит 0,5.