Инвариантность дифференциала

[Padawan]

Подскажите, где можно найти доказательство того, что результат взятия дифференциала от дифференциальной формы не зависит от выбора системы координат. Я проверил для $\omega=Pdx+Qdy$ и вычисления оказались длинные и не совсем тривиальные ...

[bot]

Надеюсь речь идёт об аффинных координатах, не криволинейных, иначе это неверно уже для формы второго порядка. Преобразование координат - это линейное преобразование, приращения новых координат - это константы, ровно так же как и независимые переменные, вот и всё.

[Padawan]

В том то и дело, что везде написано, что это верно! Произвольные координаты на многообразии. Попробую проверить для $\omega=Pdy\Lambda dz + Qdz\Lambda dx + Rdx\Lambda dy$

Проверил, совпадают!

[Таня Тайс]

Лучшая книга, которую я знаю:
В. А. Зорич, математический анализ, том 2.
Ваш вопрос там обсуждается в главе XII, параграф 5, пункт 4.

[Padawan]

Там в самом конце пункта написано, можно проверить, но не проверено!

А в главе XV параграф 3 пункт 3 вообще порочный круг! Написано каким условиям должен удовлетворять оператор внешнего дифференцирования форм, на основании этого определяется его вид в локальных координатах, и дальше идет фраза : " Существование оператора $d$ вытекает теперь из того, что определённый в локальной системе координат соотношением (14) оператор удовлетворяет условиям 1, 2, 3 определения 6 " А проверка не предоставлена.

Какой вообще инвариантный тензорный смысл этой операции -- внешнего дифференцирования?

[Таня Тайс]

У нас было это на лекции, попробую воспроизвести,
используя обозначения Зорича
$\varphi^{*}(d\omega)=d(\varphi^{*}\omega)$ это соотношение мы доказываем.
$ \varphi \colon V \rightarrow U$

Без умаления общности $ \omega= a(y_{1}, \dots y_{m}) y_{i_{1}} \Lambda y_{i_{2}} \dots \Lambda y_{i_{p}},\; \omega \in \Omega^{p}(U)$
т. е. p-форма, где мы рассматриваем только один сумманд.
$ t \in V, \; t=(t_{1}, \dots , t_{n})$

По формуле (21) из Зорича (пункт 4) имеем:
$ \varphi^{*}(\omega)(t)=a \circ \varphi(t) d\varphi_{i_{1}}(t)\Lambda \dots \Lambda d\varphi_{i_{p}}(t) $

По определению внешнего дифференциала имеем:
$ d(\varphi^{*}\omega)=d(a \circ \varphi)(t)\Lambda d\varphi_{i_{1}}(t)\Lambda \dots \Lambda d\varphi_{i_{p}}(t) $
а дальше надо применить формулу дифференцирования сложной функции
(композиция двух функций) для нахождения $\varphi^{*}(d\omega)$
получится равенство.