Куб

[maciek]

Данный куб об основаниях $ABCD$ и $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$, у чего отрезки $AA_{1}, BB_{1}, CC_{1}$ и $DD_{1}$ края. Пункт $M$ середина края $BC$. Сколько прямых параллельных в прямую $D_{1}M$ и одинаково отдалённых от прямых $АА_{1}, CD$ и $B_{1}C_{1}$?

[Батороев]

Из того, что понял.
Геометрическое место точек, равноудаленных от ребер куба $AA_1$, $CD$ и $B_1C_1$ - это прямая, проходящая по диагонали $BD_1$, но она не параллельна $D_1M$.

[Someone]

Имеется в виду следующая задача. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (то, что $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$ - рёбра, обычно подразумевается). Точка $M$ - середина ребра $BC$. Сколько существует прямых, параллельных прямой $D_1M$, равноудалённых от прямых $AA_1$, $CD$ и $B_1C_1$?

Расстоянием между двумя прямыми традиционно считается длина их общего перпендикуляра.

[Батороев]

Someone писал(а):

Расстоянием между двумя прямыми традиционно считается длина их общего перпендикуляра.

В таком случае, одна прямая, вроде бы, должна быть.

Представим такую абстракцию:

Имеется куб.
В некий момент на указанных ребрах, как на осях, начинают нарастать цилиндрические "сосульки", причем их диаметры в любой момент одинаковы.
Держим наготове негнутый "лом", передвигая его параллельно $D_1M$.
В какой-то момент времени нарастания диаметров "сосулек" наш "лом" коснется всех трех.
Но этот момент будет всего один.
Координаты "лома" при этом, назвать затрудняюсь

[maciek]

Вы знаете ответ? Someone хорошо понимает содержание

[Профессор Снэйп]

Вроде бы в координатах задача решается совсем просто.

Имеем следующие координаты точек и векторов:

$$ A = (0,0,0),\, B = (1,0,0),\, C = (1,1,0),\, D = (0,1,0) $$

$$ A_1 = (0,0,1),\, B_1 = (1,0,1),\, C_1 = (1,1,1),\, D_1 = (0,1,1) $$

$$ M = (1,1/2,0), \overrightarrow{D_1M} = (1,-1/2,-1) $$

Произвольная прямая, параллельная прямой $(D_1M)$, задаётся системой

$$ \begin{cases} x = x_0 + t \\ y = y_0 -t/2 \\ z = - t \end{cases} $$

с параметрами $x_0, y_0, t \in \mathbb{R}$.

Расстояние от этой прямой до прямой $(AA_1)$ равно минимальному значению выражения

$$ \sqrt{(x_0+t)^2 + (y_0-t/2)^2}, $$

рассматриваемому как функция от $t$ при фиксированных $x_0, y_0$. Так как выражение под корнем есть квадратный трёхчлен, то этот минимум равен

$$ \frac{|x_0 + 2y_0|}{\sqrt{5}}. $$

Аналогично получаем, что расстояние от нашей прямой до прямой $(CD)$ равно

$$ \frac{2|y_0-1|}{\sqrt{5}}, $$

а расстояние до прямой $(B_1C_1)$ равно

$$ \frac{|x_0-2|}{\sqrt{2}}. $$

Приравнивая расстояния, имеем

$$ \frac{(x_0+2y_0)^2}{5} = \frac{4(y_0-1)^2}{5} = \frac{(x_0-2)^2}{2} $$

Отсюда находим все пары $(x_0,y_0)$, являющиеся координатами пересечения искомых прямых с плоскостью $z=0$. Их количество и будет ответом к задаче.

Ответ вроде бы получается $4$. Но на всякий случай проверьте, может я где-то ошибся в выкладках.

[Батороев]

Профессор Снэйп писал(а):

Ответ вроде бы получается $4$. Но на всякий случай проверьте, может я где-то ошибся в выкладках.

На уровне предположения:

Т.к. "задействованы" $x,y$, то и получен ответ: 4.
Если бы в рассмотрении был бы еще и $z$, то не был бы получен ответ: 8 (по числу секторов трехмерных координат)

[Профессор Снэйп]

Батороев писал(а):

Т.к. "задействованы" $x,y$, то и получен ответ: 4.
Если бы в рассмотрении был бы еще и $z$, то не был бы получен ответ: 8 (по числу секторов трехмерных координат)

Что означает сия глупость?

Батороев писал(а):

В какой-то момент времени нарастания диаметров "сосулек" наш "лом" коснется всех трех.
Но этот момент будет всего один.
Координаты "лома" при этом, назвать затрудняюсь

Это неверно.

[Батороев]

Профессор Снэйп писал(а):

Батороев писал(а):

Т.к. "задействованы" $x,y$, то и получен ответ: 4.
Если бы в рассмотрении был бы еще и $z$, то не был бы получен ответ: 8 (по числу секторов трехмерных координат)

Что означает сия глупость?

Не смог себе представить, как пройдут эти Ваши четыре прямые, поэтому предположил (или сглупил - как Вам будет угодно), что т.к. все выражения в Ваших расчетах либо по абсолютной величине, либо в квадратах, то могут быть лишние решения, относящиеся к симметричному кубу из другого сектора (отличного по знакам).

Профессор Снэйп писал(а):

Батороев писал(а):

В какой-то момент времени нарастания диаметров "сосулек" наш "лом" коснется всех трех.
Но этот момент будет всего один.
Координаты "лома" при этом, назвать затрудняюсь

Это неверно.

Согласен, что неверно, т.к. не учел, что "лом" может располагаться, как ниже ребра $B_1C_1$, так и выше, т.е. указанных "моментов", а соответственно, прямых будет 2.

[Профессор Снэйп]

Батороев писал(а):

Согласен, что неверно, т.к. не учел, что "лом" может располагаться, как ниже грани $B_1C_1$, так и выше, т.е. указанных "моментов", а соответственно, прямых будет 2.

Почему 2? Вроде бы ответ 4.

[Батороев]

Профессор Снэйп писал(а):

Батороев писал(а):

Согласен, что неверно, т.к. не учел, что "лом" может располагаться, как ниже грани $B_1C_1$, так и выше, т.е. указанных "моментов", а соответственно, прямых будет 2.

Почему 2? Вроде бы ответ 4.

Я согласился с тем, что мог неправильно интерпретировать то, как получен Вами результат, но не с самим ответом.

[Профессор Снэйп]

Батороев писал(а):

Я согласился с тем, что мог неправильно интерпретировать то, как получен Вами результат, но не с самим ответом.

То есть Вы считаете, что ответ 4 неправильный?

[Батороев]

Профессор Снэйп писал(а):

То есть Вы считаете, что ответ 4 неправильный?

Я не могу считать Ваш ответ правильным или неправильным, т.к. сам сосчитать не могу.
Но на уровне воображения склоняюсь все же к ответу 2.
Поэтому и высказал свои сомнения.

Хотя, не исключаю и того случая, что абстракция, которой я воспользовался, где-то "хромает".

[bot]

Вчера, едя ..., ездуя, ... , нет - едучи вчера с лекции в маршрутке, вспомнил про этот куб и попробовал воосоздать ситуацию.

Есть прямая L, не параллельная ни одной из граней куба, и ещё три прямые, содержащие какие-то взаимно перпендикулярные рёбра куба. Спрашивают, сколько можно провести прямых параллельно L, которые равноудалены от этих трёх.

Стал прикидывать. Направляющий вектор искомых прямых задан, остаётся найти через какие точки их проводить. Так как L не параллельна граням, то одну из координат искомых точек можно считать нулём.
Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми можно посчитать через объём параллелепипеда и площадь его основания - у нас есть направляющие векторы $a$, $b$ и вектор $c$, соединящий какие-нибудь две точки этих прямых: $\rho = \frac{|(abc)|}{|a\times b|}$
Из условия равноудалённости тогда возникнет 4 системы линейных уравнений с двумя неизвестными. Сколько решений в каждом случае? Случай линейной зависимости, подумавши отмёл, а вот случай несовместности ..., хм, а почему бы ему и не быть? Без конкретного счёта ничего не придумывалось. Можно было наобум конкретизировать, но поздновато, да и устамши - тяжёлый день среда, всего-то 3 пары, но с дальними переездами.

Ну вот теперь добрался до конкретики и считаю. Выбираю оси: $x - AB, \ y - AD, \ z - AA_1$. Куб естественно считаю единичным. Искомую прямую провожу через точку $(x, \ y, \ 0)$.
Теперь выпишу легко проверяемые равенства - вдруг в арифметике где-нибудь напортачу.
С точностью до знака расстояния от прямой, проведённой через точку $(x, \ y, \ 0)$ с направлящим вектором $MD_1$ до трёх заданных таковы:
$\det\left(\begin {array}{ccc} x & y-1 & 0 \\ -2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) : \det\left(\begin {array}{ccc} i & j & k \\ -2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) = \frac{2y-2}{\sqrt5}$

$\det\left(\begin {array}{ccc} x-1 & y & -1 \\ -2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{array}\right) : \det\left(\begin {array}{ccc} i & j & k \\ -2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{array}\right) = -\frac{x-2}{\sqrt2}$

$\det\left(\begin {array}{ccc} x & y & 0 \\ -2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right) : \det\left(\begin {array}{ccc} i & j & k \\ -2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right) = \frac{x+2y}{\sqrt5}$

Отсюда имеем 4 системы урвнений:

1) $\frac{x-2}{\sqrt2}=\frac{2y-2}{\sqrt5}=\frac{x+2y}{\sqrt5}$

2) $\frac{x-2}{\sqrt2}=\frac{2y-2}{\sqrt5}=-\frac{x+2y}{\sqrt5}$

3) $\frac{x-2}{\sqrt2}=-\frac{2y-2}{\sqrt5}=\frac{x+2y}{\sqrt5}$

4) $-\frac{x-2}{\sqrt2}=\frac{2y-2}{\sqrt5}=\frac{x+2y}{\sqrt5}$

Последняя система несовместна. Пока просмотр грузился, лишку успел сделать: нашёл корявые решения первых трёх систем (особенно второй и третьей) и препроверил их - не буду выписывать, для ответа на вопрос они не нужны.

Итог: ровно три таких прямых существует.

[Профессор Снэйп]

bot писал(а):

4) $-\frac{x-2}{\sqrt2}=\frac{2y-2}{\sqrt5}=\frac{x+2y}{\sqrt5}$

Последняя система несовместна.

С чего это вдруг она несовместна? У неё есть решение

$$ \begin{cases} x = -2 \\ y = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}}{\sqrt{2}-\sqrt{5}} \end{cases} $$

Так что четыре прямых --- это верный ответ!