Можно ли считать множество точек множеством векторов?

[GrandCube]

Скажите пожалуйста, для доказательства, что множество точек в координатной плоскости (x;y) является линейным пространством, можно ли принять точки за множество векторов с началом в нуле?

[provincialka]

Хм... постановка задачи довольно странная. Чтобы доказать, что что-то является линейным пространством, нужно посмотреть, как там заданы основные операции. А уж называть ли объекты векторами - это дело десятое.

[GrandCube]

provincialka в сообщении #1057263 писал(а):

Хм... постановка задачи довольно странная. Чтобы доказать, что что-то является линейным пространством, нужно посмотреть, как там заданы основные операции. А уж называть ли объекты векторами - это дело десятое.

Заданы естественные операции сложения и умножения на число.

[provincialka]

В смысле покомпонентные? Ну, проверьте их свойства...

И да, конечно, полученная структура изоморфна пространству векторов. Думаете, это поможет в доказательстве?

[GrandCube]

provincialka в сообщении #1057270 писал(а):

В смысле покомпонентные? Ну, проверьте их свойства...

И да, конечно, полученная структура изоморфна пространству векторов. Думаете, это поможет в доказательстве?

Хм, ну мне почему-то показалось, что проверить выполнение 8-ми аксиом легче для векторов. Хотя, наверное одно и то же. При доказательстве через векторы мы используем операции над векторами, а при доказательстве с точками как таковыми мы работаем с и координатами, то есть рациональными числами, верно?

[provincialka]

GrandCube
Извините, вы где учитесь? В школе или в вузе?
Что вы понимаете под "точкой" или "вектором"? Геометрические объекты? Или просто пару координат?

На самом деле понятие "вектор" в школе и в вузе значит разное. В школе его можно (с некоторой натяжкой) рассматривать как направленный отрезок (или пару точек начало/конец). В высшей же алгебре вектором называется просто элемент линейного пространства. То есть, чтобы иметь право назвать некий объект вектором, надо сначала доказать, что пространство, куда он входит, линейно.

-- 28.09.2015, 13:45 --

GrandCube в сообщении #1057271 писал(а):

при доказательстве с точками как таковыми мы работаем с и координатами, то есть рациональными числами, верно?

Почему только рациональными? Вещественными (действительными).

На самом деле, линейным пространством является именно пространство пар $(x,y)$. Для точек плоскости, на которой не выбрана система координат (или хотя бы ее начало) нет естественной структуры линейного пространства. Естественно рассматривать ее как аффинное.

[GrandCube]

provincialka в сообщении #1057285 писал(а):

GrandCube
Извините, вы где учитесь? В школе или в вузе?
Что вы понимаете под "точкой" или "вектором"? Геометрические объекты? Или просто пару координат?

На самом деле понятие "вектор" в школе и в вузе значит разное. В школе его можно (с некоторой натяжкой) рассматривать как направленный отрезок (или пару точек начало/конец). В высшей же алгебре вектором называется просто элемент линейного пространства. То есть, чтобы иметь право назвать некий объект вектором, надо сначала доказать, что пространство, куда он входит, линейно.

-- 28.09.2015, 13:45 --

GrandCube в сообщении #1057271 писал(а):

при доказательстве с точками как таковыми мы работаем с и координатами, то есть рациональными числами, верно?

Почему только рациональными? Вещественными (действительными).

На самом деле, линейным пространством является именно пространство пар $(x,y)$. Для точек плоскости, на которой не выбрана система координат (или хотя бы ее начало) нет естественной структуры линейного пространства. Естественно рассматривать ее как аффинное.

В вузе. Да, прекрасно понимаю, что вектор - элемент линейного пространства. Но в данном случае хотел бы использовать "школьную трактовку" как направленного отрезка. То есть просто уточнить, можно ли для доказательства "линейности" пространства представить точки плоскости как "направленные отрезки с началом в точке 0", чтобы для них проверить все 8 аксиом и замкнутость относительно операций сложения/умножения на число, потому что, работая с векторами, аксиомы можно проиллюстрировать геометричски. Простите, что так криво сформулировал

[provincialka]

1) Не стоит цитировать целый пост собеседника. Выделите нужный кусок и нажмите кнопку "вставка"
2) Нет, ваш подход неудачный. Вам придется еще показывать, что операции с "геометрическими" векторами соответствуют аналогичным операциям со строками. И зачем вам такой геморрой такая головная боль? Проверяйте аксиомы непосредственно -- и все!

-- 28.09.2015, 14:05 --

Честно говоря, меня вообще "напрягает" упоминание точек плоскости. К чему они тут? Сами по себе они (повторюсь) линейного пространства не образуют. Это у вас откуда такое странное задание?

[GrandCube]

Просто, скажем, проверять коммутативность сложения точек - как-то непривычно, вот я и решил взять векторы.

Задание от преподавателя. Док-ть, что мн-во точек на пл-ти, которое описывается координатами (x;y) - линейное пространство. С естественными операциями сложения и умножения на число.

[provincialka]

Ну... Не хочется говорить плохого о преподавателе... "Точки плоскости" тут ни к чему. Вот строки чисел, $(x,y)$ образуют линейное пространство. И эту структуру можно перенести на плоскость, если выбрать начало отсчета. И, действительно, в этом случае "точкам" можно поставить в соответствие "векторы". Но само это сопоставление еще требует некоторых рассуждений.... Зачем?

[GrandCube]

Да, разумеется, я выбираю некоторую точку, которую называю нулем, началом отсчета.

Да, спасибо, со строками стало все гораздо яснее.

Скажите пожалуйста, а если координаты точек удовлетворяют уравнению $x+y=5$(то есть задано такое множество точек), то чтобы доказать, что это не является линейным пространством, мне надо координаты точек представить в виде строк чисел $(x;y)$ и показать незамкнутость данного подпространства относительно линейных операций сложения и умножения на число?

[provincialka]

Да, примерно так. Найдите хотя бы одно не выполняющееся свойство!

(Оффтоп)

присмотритесь к наличию нуля.

GrandCube в сообщении #1057305 писал(а):

мне надо координаты точек представить в виде строк чисел $(x;y)$

Хм.... Что значит "представить"? Они и есть строки

[GrandCube]

Я ведь сразу получу незамкнутость относительно сложения строк, верно (буду получать уже строку, для которой условие $x+y=5$ не выполняется)? После этого можно не продолжать доказательство?

[provincialka]

Можно.

(Оффтоп)

убегаю на работу. Надеюсь, вы разобрались в вопросе

[GrandCube]

И последний вопрос. Если надо выяснить, является ли что-либо подпространством линейного пространства (например, мн-во неотрицательных функций на некотором отрезке для линейного пространства всех функций), то я должен доказать, что данное мн-во - линейное подпространство/не является линейным подпространством? (Исходя из теоремы, что подпространство линейного пространства есть линейное пространство)

-- 28.09.2015, 15:07 --

Спасибо за предыдущие ответы! Стало правда намного яснее.